Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 22

La negociación de una demostración en matemáticas

Euler: cuando se toma un sólido (como un cubo o una pirámide) y se cuentan el número de esquinas o vértices (V), el de aristas (a) y el de caras (C), resulta que satisfacen la fórmula: V - A + C = 2 (Ver figura 12 página 219). A las figuras de este tipo se les llama poliedros y sus caras son polígonos. Euler pensó que su fórmula era válida para todos los poliedros. Hoy no se concedería el honor de llamar teoremas a una resultado así obtenido, todo lo más se le atribuiría una certeza inductiva o moral. Un auténtico teorema debe seguirse de una prueba o demostración.

Cualquier análisis naturalista de las matemáticas debe dar cuenta de la naturaleza de la demostración y del tipo de certeza que entraña. Cauchy propuso una idea ingeniosa que parecía demostrar el teorema de Euler; se centraba en una “experimento mental” con los poliedros. (Ver figura 13 página 220). La clave de la demostración está en mostrar que la propiedad señalada por Euler es una consecuencia natural del hecho que un triángulo tenga 3 vértices, 3 aristas y, por supuesto, 1 cara. El experimento mental original no era sino una manera de poder visualizar los poliedros como construidos por triángulos; visión que se obtiene al extenderlos sobre un plano y someterlos al proceso de triangulación.

Quizá no quepa duda de que algunos poliedros se ajustan a la fórmula de Euler, pero sí la hay de que el razonamiento de Cauchy explique por qué es así. Como señala Lakatos, Cauchy no se dio cuenta de que la supresión de triángulos que se tocan entre sí debía hacerse con mucho cuidado para que la fórmula pudiera seguir manteniéndose.

Lhuilier y Hessel encontraron cada uno una excepción al teorema de Euler y a la demostración de Cauchy. En la figura 15 (página 223) se muestra un cubo encajado en otro, pudiendo considerarse que el cubo interior perfila un hueco dentro del grande. Una inspección directa del número de caras, aristas y vértices muestra que no satisface el teorema; y tampoco se presta al experimento mental de Cauchy, pues al suprimir una cara de cualquiera de ambos cubos no se puede extender sobre el plano la figura resultante. Si se supone que las demostraciones establecen de una vez por todas la verdad de una proposición, entonces algo debe de andar mal con el contraejemplo. Quizá esta definición esté mal hecha y lo que hubiera debido entenderse por poliedro fuera una superficie, y no un sólido, con caras poligonales. (ver figura 16 página 223).

Moëbius ya había dado una definición de poliedro que hubiera eliminado este contraejemplo: un poliedro, definió, es un sistema de polígonos tal que dos polígonos comparten una arista y en él siempre se puede pasar de una cara a otra sin pasar por un vértice. Aunque la reelaboración que hace Moëbius del significado de poliedro excluye los ejemplos de Hessel, aún quedan otros que burlan sus defensas, como el de la figura 17 (página 224), que satisface la definición de Moebius pero no se somete a la demostración de Cauchy pues no puede aplanarse.

(Ver figura 18, página 224) Todo este proceso se debe a que el teorema empezó siendo una generalización inductiva. Se propone una demostración y es el mismo hecho de intentar probar que es correcta el que expone la generalización a todo tipo de críticas. Los contraejemplos revelan que nos estaba claro lo que era un poliedro y se tiene que decidir cuál es el significado del término “poliedro”, que había quedado indeterminado en la zona de sombra proyectada por los contraejemplos. Entonces la demostración y el propio alcance del teorema ya pueden consolidarse gracias a la creación de una elaborada estructura de definiciones, que  tienen su origen en el conflicto que había surgido entre la demostración y los contrajemplos.

Lakatos nos recuerda lo que el consejo de Lord Mansfield pasa por alto: que la idea que orienta una demostración es un recurso valioso. Cumple un papel parecido al de los modelos físicos de Mill: delimita el intento de comprensión de un asunto a la luz de cierto modelo, que utiliza para establecer conexiones y analogías. Hay dos formas principales por las que la idea que rige una demostración funciona como un recurso:

1.    Permite anticipar contraejemplos o crearlos.

2.    Lo mismo si vale para demostrar el teorema como si no, la idea que se ensayó en la demostración sigue existiendo y podrá usarse como guía para trabajos posteriores.

Lakatos pretende mostrar con su ejemplo que las matemáticas, como las demás ciencias, proceden por conjeturas y refutaciones. Manifiesta que quiere, como también el sociólogo, disipar ese aura de perfección estática e inexorable unidad que las rodea. Si hay un enfoque popperiano de las matemáticas, incorporará las críticas, los desacuerdos y el cambio; y cuanto más radicales, mejor. Desde esta perspectiva, en las matemáticas no hay esencias lógicas últimas como tampoco hay últimas esencias materiales.

Lakatos concentra su atención en lo que llama “matemáticas informales”, que son los sectores de crecimiento que aún no han sido organizados como sistemas deductivos rigurosos. “Formalizar” un sector de las matemáticas significa presentar sus resultados de manera que se deriven de cierto conjunto de axiomas enunciados explícitamente. Si algo es obvio sólo se debe a que no se lo ha sometido a una crítica en profundidad. La crítica des-trivializa lo trivial y pone de manifiesto precisamente cuánto damos por supuesto en lo que nos parece evidente por sí mismo. Ninguna verdad lógica de apariencia sencilla y trivial puede aportar, por tanto, fundamento último alguno al conocimiento matemático.

Al rechazar la idea de que la auténtica naturaleza de las matemáticas descanse en los sistemas axiomáticos y formalizados, Lakatos muestra que para él, como también para Mill, lo informal tiene prioridad sobre lo formal.

Ofrecer una demostración de una proposición matemática es más bien, para Lakatos, como ofrecer una explicación teórica de un resultado empírico en las ciencias de la naturaleza; las demostraciones explican por qué una proposición, o un resultado conjetural, es cierta. Una demostración puede refutarse con contraejemplos y recuperarse después reajustados el alcance y los contenidos de las definiciones y categorizaciones. La idea que rige una demostración y es eficaz en cierto ámbito puede utilizarse otra vez de manera diferente en otro ámbito, tal como ocurre con los modelos y las metáforas en la teorización física. Al igual que las teorías, las demostraciones dotan de ciertos significados a lo que explican. Que toda regla puede reinterpretarse y toda idea puede desarrollarse de maneras nuevas. En principio, el pensamiento informal siempre puede burlar el pensamiento formal. Los periodos de cambios rápidos en matemáticas, en los que hay una crítica activa de los fundamentos, se consideran favorables; aquellos otros periodos en los que las definiciones, axiomas, resultados y demostraciones se dan por hecho aparecen como períodos de estancamiento.

Lakatos considera que los períodos de estancamiento se corresponden con las “ciencia Normal”, donde ciertos desarrollos matemáticos y ciertos estilos de razonamiento adquieren la apariencia de verdades eternas. Lo que se considera lógico es lo que se da por supuesto, En cada momento dado, las matemáticas se desarrollan según (y se basan en) lo que los matemáticos dan por supuesto: no tienen más fundamento que el social.

El rechazo de los supuestos lineales y progresistas que caracterizaron a las anteriores generaciones de historiadores de la ciencia se ha convertido hoy en un lugar común.

Los historiadores son ahora más proclives que antes a investigar la integridad de diferentes estilos de trabajo, a relacionar los datos entre sí de modo que se enmarquen en épocas más o menos delimitadas, cada una con sus propias preocupaciones, paradigmas. No deja de construirse, igual que antes, una unidad subyacente; y se siguen haciendo conjeturas sobre los pensamientos que se ocultan bajo los documentos que los matemáticos dejan tras de sí.

Si la sociología de las matemáticas consiste simplemente en esa manera de escribir la historia, los historiadores de las matemáticas pueden pretender razonablemente que la sociología del conocimiento es algo que ya están haciendo ellos. Más importante son los problemas que se quieren iluminar; son las cuestiones teóricas que el investigador consigue o no aclarar las que determinan so la historia tiene algo que decir a la sociología del conocimiento.

¿Qué problemas debe abordar la historia de las matemáticas para ayudar a la sociología del conocimiento?: debe ayudar a entender cómo y pro qué la gente piensa como realmente piensa, que debe ayudar a entender cómo se generan los pensamientos y cómo adquieren, conservan y pierden su condición de conocimientos. Debe arrojar luz sobre cómo nos comportamos, cómo funcionan nuestras cabezas y de qué naturaleza son las opiniones, las creencias y los juicios. Cómo se construyen las matemáticas a partir de componentes naturalistas: experiencias, procesos mentales, tendencias naturales, hábitos, patrones de comportamiento e instituciones. Y para ellos es necesario ir más allá de un estudio de los resultados del pensamiento: buscar tras los productos, los actos mismos de producción.

Volviendo a la discusión de Lakatos sobre el teorema de Euler: la gente no está gobernada por sus ideas y conceptos, que son los hombres quienes gobiernan a las ideas y no al revés. Las ideas se desarrollan gracias a contribuciones activas, se han construido y fabricado de manera que puedan extenderse, Esas extensiones de sus usos y significados no les son pre-existentes, no están previamente contenidas en los conceptos como en una embrión. A la hora de enfrentarse con los contraejemplos, el significado del concepto es algo que sencillamente no existía; no había nada escondido dentro del concepto que nos obligara a entenderlo de una manera u otra, nada que pudiera impulsarnos a decidir que debía quedar incluido bajo su ámbito y qué debía excluirse.

La extensión y reelaboración de conceptos seguramente están estructuradas y determinadas por las fuerzas en presencia en el momento de la elección, fuerzas que pueden ser totalmente diferentes según los individuos. El vínculo se establece por medio de las semejanzas y diferencias percibidas entre el nuevo objeto y los casos anteriores. La tendencia psicológica se ve coartada por un límite de orden social. El primitivo hábito, que quizá sea el más fuerte, entrará en conflicto con las recientes restricciones. Es fácil percibir cómo las experiencias anteriores pueden presionar en un sentido u otro, Tampoco es difícil apreciar que las extensiones que sufren los usos de un concepto no se orientan según un pretendido significado real de los mismos, sino más bien por causa de diversos factores que dependen de la experiencia pasada. El hecho de apreciar el papel creativo de la negociación aumenta la necesidad de una perspectiva sociológica. Este enfoque destruye el mito de que las ideas trazan el camino que han de seguir los pensadores, descarta esa escurridiza creencia en que el papel que juegan las ideas en la conducta de la gente excluye las causas de tipo social, como si esos dos elementos se opusieran.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 21

La lógica azande y la ciencia occidental

El libro de Evans-Pritchard sobre los azande describe una sociedad que es profundamente diferente de la nuestra; un azande nunca hace algo de cierta importancia sin consultar al oráculo. Para los azande, toda calamidad humana se debe a la brujería, las brujas o brujos son personas cuya mala voluntad y poderes maléficos son la causa de las desgracias. Un brujo transmitiría la sustancia brujesca a todos sus hijos y una bruja a todas sus hijas.

Parece así una inferencia lógica clara que basta con tener un único caso de brujería, que fuera decisivo e incontestable, para establecer que toda una rama de parientes ha estado integrada con brujos. De igual manera, la decisión de que un hombre no es brujo debería bastar para exonerar a todos sus parientes. Pues bien, los azande no actúan de acuerdo con estas inferencias.

En teoría, todo el clan al que pertenece un brujo debería estar compuesto por brujos. En la práctica, sólo se consideran brujos a los parientes paternos próximos de un brujo conocido. ¿A qué se debe esto?

Evans-Piritchard lo explica señalando que los azande dan prioridad a los ejemplos específicos y concretos de brujería sobre los principios abstractos y generales. Éstos nunca preguntan a un oráculo la cuestión general de si tal cual persona es un brujo. Lo que preguntan es si tal o cual persona está embrujada aquí y ahora. Así, los azande no perciben la contradicción tal como la percibimos nosotros porque no tienen ningún interés teórico en el tema, y las situaciones en las que expresan sus creencias en la brujería no les llevan a plantearse el problema.

Este análisis conlleva claramente dos ideas centrales:

1.    Existe realmente una contradicción en la manera azande de ver las cosas, la perciban ellos o no; los azande han institucionalizado un error lógico, o al menos un cierto grado de ceguera lógica.

2.    En caso de que los azande percibieran el error, una de sus principales instituciones sociales se volvería insostenible, pues quedaría amenazada de ser contradictoria o lógicamente defectuosa y, por tanto, su supervivencia estaría en peligro.

Es vital para los azande mantenerse en su error lógico so pena de convulsiones sociales u de implicar un cambio radical en sus modos de vida.

A veces Wittgenstein equipara la extracción de una conclusión lógica con la convicción de que algo no puede ser de otra manera: los encadenamientos lógicos son aquellos que nos parecen evidentes. Ahora son los azande quienes consideran evidente que todo el clan de un brujo no puede estar integrado por brujos; para ellos esto no puede ser de otra manera. Es lógico, por tanto, que no saquen esa conclusión. Pero como para nosotros ésa es la conclusión que debe sacarse, debe haber más de una lógica: la de los azande y la de los occidentales.

Para subrayar la autosuficiencia de la visión azande, Winch dirige la atención hacia ciertas diferencias entre la analogía del juego y el caso en cuestión. El antiguo juego se volvía efectivamente obsoleto cuando aparecía nueva información; una vez que se conoce el truco, el juego se derrumba bajo el impacto del conocimiento. Pero los azande no se limitan a descartar la brujería cuando se les llama la atención sobre (las que consideramos que son) todas sus implicaciones lógicas; no quedan sumidos en la confusión. Winch sugiere que esto prueba que la brujería y la lógica azandes no se pueden comparar con la perspectiva occidental, que no se relacionan entre sí como partes de un todo. El suyo es un juego diferente que no se prolonga en el nuestro de un modo natural.

La discusión de Winch atañe sólo a la unicidad de la lógica pero no discute su poder. De hecho, parece compartir la creencia en ese poder. Pese a su crítica, parece dar por supuesto que, si hubiera habido una contradicción lógica en las creencias azande, la institución de la brujería se habría visto efectivamente amenazada.

Si Mill tiene razón, la lógica está en el extremo opuesto al poder, La aplicación de los esquemas lógicos es sólo una manera de reordenar a posteriori nuestras reflexiones, y siempre está sujeta a negociación.

Lord Mansfield se hubiera sentido orgulloso de los azande, pues siguen fielmente su consejo: expresan sus decisiones rotundamente sin preocuparse por aportar una elaborada estructura que las justifique. Siguen los pronunciamientos de su oráculo cuando éste decide quién es o no un brujo y saben, con la misma confianza, que no todos los miembros del clan afectado son brujos. Ambas creencias son estables y centrales en sus vidas. Si alguna vez llegara a plantearse el problema de la inferencia, negociarían la amenaza con habilidad para rechazarla sin mayor dificultad. Todo lo que necesitarían serían unas cuentas distinciones sutiles. Uno de ellos puede haber sido acusado de brujería sin que por ello se le trate siempre como brujo; en ese caso dicen que la sustancia brujesca se ha “enfriado”, y ya no es más un brujo a ningún efecto. La lógica no amenaza la institución de la brujería porque in razonamiento lógico siempre se puede sustituir por otro.

(Ver figura 11, página 213) Los factores realmente importante son los dos elementos de la situación que se dan socialmente por supuestos: el uso del oráculo y la inocencia general del clan en su conjunto, Ambos están sancionados por la tradición y son centrales en la forma de vida azande, por lo que ninguna extrapolación meramente lógica que pueda seguirse de uno de ellos va a perturbar al otro. Si una estructura de justificación no cumple su función, siempre se puede inventar otra.

El que nosotros sí podemos imaginar que la acusación de brujería pueda generalizarse a todo un clan se debe simplemente a que no experimentamos verdaderamente la presión que se ejerce contra esa conclusión.

Las principales variables sociales de una situación así son de dos tipos: las instituciones, que se dan por supuestas, y el grado de elaboración y desarrollo de las ideas que mantienen unidas a estas instituciones entre sí. En el caso de los azande esa elaboración es mínima, aunque en otras culturas puede estar muy desarrollada. (Ver ejemplo página 213-214). Las instituciones son estables y nuestros razonamientos informales hacen los ajustes necesarios. Si percibimos la fuerza de las inferencias lógicas es porque ya tenemos cierta disposición crítica hacia las instituciones. Así, la asimilación inductiva entre casos distintos puede llegar a imponerse sobre las deducciones formales que nos llevarían de un modo lógico a expresar nuestra condena.

Este proceso de reelaboración es una característica general de nuestra cultura, e interviene tanto en la ciencia como en el sentido común. (Ver otro ejemplo página 215). La compulsión lógica que se sigue de un modelo elemental de sustracción se consigue rodear con un modelo de sustitución.

Gay-Lussac había descubierto una regularidad estrictamente empírica en la manera de combinarse los gases. Si dos gases Ay B se combinan para formar un gas C, él encontró que 1 volumen del gas A siempre se combinaba con 1, 2, 3 o un pequeño número entero de volúmenes del gas B, suponiendo que los volúmenes se han medido en iguales condiciones de presión y temperatura. La teoría atómica de Dalton había mostrado a los científicos la utilidad de pensar las combinaciones químicas en términos de combinaciones directas de átomos. Con ello, el resultado de A se combinaba con, por ejemplo, 1 volumen de B era porque el mismo volumen de cada gas contenía el mismo número de átomos.

El único problema de esta idea estaba en que, a veces, si se combinaba 1 volumen de A con 1 volumen de B daba lugar a un gas C que ocupaba 2 volúmenes, a la misma presión y temperatura. La idea de que cada volumen contenía el mismo número de átomos sólo podía mantenerse ahora si los átomos se dividían por la mitad; si no, ese volumen doble sólo tendía la mitad de átomos por unidad de volumen.

Es fácil evitar la conclusión de que los átomos deban dividirse sin dejar de mantener esa idea de que hay un mismo número de ellos en un mismo volumen. La combinación se lleva a cabo, no por simple adición, sino por sustitución.

Todo esto sugiere que los azande piensan de un modo muy parecido al nuestro. Su aparente rechazo a comportarse lógicamente tiene la misma base que a nosotros nos permite desarrollar estructuras teóricas altamente refinadas. Sus creencias en torno a la brujería reaccionan ante los mismos imperativos que las nuestras, si bien esos imperativos actúan en diferentes grados y direcciones. Su comportamiento y el nuestro se parecen lo suficiente como para esforzarnos en trazar una teoría explicativa sobre las reelaboraciones intelectuales que dé razón tanto de los azande como de los científicos atómicos.

Los azande tienen la misma psicología que nosotros pero instituciones muy diferentes. Si asociamos la lógica con la psicología del razonamiento, tendremos a decir que tienen la misma lógica; si, por el contrario, la asociamos con el marco institucional de pensamiento, nos decantaremos más bien por ver que las dos culturas tienen lógicas diferentes. Nuestras tendencias naturales a la inferencia, como cualesquiera otras tendencias naturales, no constituyen por sí mismas un sistema ordenado y estable, sino que se necesita algún tipo de estructura impersonal que trace límites y sitúe cada tendencia en un ámbito propio que la delimite.

Las fronteras y el contenido de nuestros conceptos son tan poco susceptibles de ser descubiertos como lo son las fronteras de nuestros países o el contenido de nuestras instituciones: son creaciones.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 19

La negociación en el pensamiento lógico y matemático

Retomamos el análisis de la compulsión lógica; su intención es añadir a las explicaciones ofrecidas hasta ahora un proceso completamente nuevo que denominaré “negociación”. Las convenciones, las normas o las instituciones sociales no siempre nos constriñen a través de la internalización directa del sentido de lo correcto y de lo erróneo, y además, no pueden hacerlo; y de igual manera que nuestros papeles y obligaciones sociales pueden entrar en conflicto, puede ocurrir lo mismo con los resultados de nuestras instituciones lógicas. Para una comprensión cabal de este fenómeno, necesitaremos, más que nunca, una perspectiva sociológica. Mill debate con Whately si el silogismo contiene una “petito principii”

Todos los hombres son mortales

El Duque de Wellington es un hombre

Luego el Duque de Wellington es mortal

Mill cree que, efectivamente, aquí se da una circularidad.

El consejo de Lord Mansfield

La parte más familiar de la teoría de Mill es que el razonamiento procede de lo particular a lo particular. La inferencia sobre la mortalidad del Duque se  basaba en una generalización inductiva y en una asociación de ideas: la experiencia de los casos pasados permite hacer generalizaciones seductivas fiables sobre la muerte y éstas se extrapolan naturalmente para respaldar casos que parecen muy similares a aquellos que acontecieron en el pasado. Mill dice que el verdadero proceso de inferencia consiste en el tránsito de los casos particulares pasados a los casos particulares del presente, por lo que el proceso de pensamiento involucrado no depende de la generalización de que todos los hombres seamos mortales.

Mill deja caer las alusiones que mencionábamos. Las proposiciones generales son para Mill simplemente “registros” de las inferencias que ya hemos realizado. El razonamiento consiste en el acto específico de asimilar los nuevos casos a los viejos. Mill se refiere a la generalización de que todos los hombres son mortales como a un “recordatorio”. La inferencia sobre la mortalidad de cualquier persona específica, dice Mill, no resulta del propio recordatorio sino más bien de aquellos casos pasados que sirvieron para establecer dicho recordatorio.

Para Mill, hablar en esos términos de las premisas y los principios conlleva dos ideas:

1.    Sugiere que son derivados o simples epifenómenos.

2.    Mientras indica que no son centrales para el acto del razonamiento en sí, sugiere que podrían desempeñar alguna otra función positiva, aunque diferente de la que se le suele atribuir. El modo en que Mill habla de esta otra función evoca un medio de documentar y archivar lo que ha ocurrido.

Si las razones no llevan a conclusiones, sino que simplemente son ideas a posteriori, ¿qué relación mantienen entonces con esas conclusiones? Mill considera que la conexión entre los principios generales y los casos que caen bajo su ámbito es algo que debe crearse: se tiene que construir un puente interpretativo.

Mill trata el silogismo: sus estructuras formales se conectan con las inferencias reales a través de un proceso interpretativo. La lógica formal es un modo de exponer las cosas, una disciplina impuesta, una estructura superficial construida y más o menos artificial. La idea central es que los principios formales de la razón son herramientas de los principios informales del razonamiento. La lógica deductiva es el producto de una reflexión interpretativa a posteriori.

¿Cómo se expresa la prioridad de lo informal sobre lo formal?:

1.    El pensamiento informal puede utilizar el pensamiento formal, puede tratar de fortalecer y justificar sus conclusiones predeterminadas fundiéndolas en un molde deductivo.

2.    El pensamiento informal puede tratar de criticar, evadir, burlar o rodear los principios formales. La aplicación de los principios formales es siempre un asunto potencial de negociación informal.

El pensamiento informal parece que reconoce la existencia y la potencia del pensamiento formal al tiempo que mantiene voluntad propia, sigue su propio camino, pasando inductivamente de lo particular a lo particular, dejándose guiar por lazos asociativos.

Consideremos el silogismo: todo A es B, C es A, luego C es B. Éste es un patrón compulsivo de razonamiento, que emerge de nuestro aprendizaje de ciertas propiedades físicas elementales, como el que unas cosas contengan a otras. Esta simple situación suministra un modelo del patrón general que se considera formal, lógico y necesario. Los principios formales aprovechan nuestra proclividad natural a extraer conclusiones; por eso, cuando los empleamos, pueden ser tanto aliados valiosos como enemigos importantes.

Quizá aquello designado por la letra C no sea realmente un A, o quizá no todas las cosas consideradas como Aes sean realmente Bes. En general, habrá que establecer distinciones, redefinir límites señalar y explotar similitudes y diferencias; desarrollar nuevas interpretaciones, etc. Este tipo de negociación no pone en cuestión la propia regla del silogismo. Esa regla está arraigada en nuestra experiencia del mundo físico y tendremos que concederle algún ámbito de aplicación; quizá más adelante hayamos de recurrir a ella. Lo que sí se puede negociar es cualquier aplicación particular de la regla.

El pensamiento informal, por tanto, hace un uso positivo de los principios formales, así como también necesita burlarlos o rodearlos. El pensamiento informal es, a la vez, conservador e innovador.

La idea de que la autoridad lógica es una autoridad moral corre el riesgo de desatender los elementos más dinámicos del pensamiento lógico. Podría decirse que la autoridad, en tanto que algo que se da por supuesto, está en un equilibrio estático que contrasta con la otra imagen de equilibrio dinámico. Esa aceptación estática puede ser una forma más estable y compulsiva de autoridad, pero dicha estabilidad también puede verse perturbada.

Para algunas personas y en algunas circunstancias, los preceptos morales o legales, por ejemplo, se pueden internalizar como valores cargados emocionalmente que controlan la conducta. En otros casos, estos preceptos pueden aprehenderse simplemente como elementos de información, como cosas a tener en cuenta cuando se va actuar y se quieren prever las reacciones de los otros, La concurrencia de estos dos modelos de influencia social en las matemáticas no puede sino fortalecer su similitud con otros aspectos de la conducta.

Cuanto más formalizados estén los principios lógicos en cuestión, más explícito y consciente es el proceso de negociación; y viceversa, cuanto menos explícitos son los principios, más tácita es la negociación.