Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 22

La negociación de una demostración en matemáticas

Euler: cuando se toma un sólido (como un cubo o una pirámide) y se cuentan el número de esquinas o vértices (V), el de aristas (a) y el de caras (C), resulta que satisfacen la fórmula: V - A + C = 2 (Ver figura 12 página 219). A las figuras de este tipo se les llama poliedros y sus caras son polígonos. Euler pensó que su fórmula era válida para todos los poliedros. Hoy no se concedería el honor de llamar teoremas a una resultado así obtenido, todo lo más se le atribuiría una certeza inductiva o moral. Un auténtico teorema debe seguirse de una prueba o demostración.

Cualquier análisis naturalista de las matemáticas debe dar cuenta de la naturaleza de la demostración y del tipo de certeza que entraña. Cauchy propuso una idea ingeniosa que parecía demostrar el teorema de Euler; se centraba en una “experimento mental” con los poliedros. (Ver figura 13 página 220). La clave de la demostración está en mostrar que la propiedad señalada por Euler es una consecuencia natural del hecho que un triángulo tenga 3 vértices, 3 aristas y, por supuesto, 1 cara. El experimento mental original no era sino una manera de poder visualizar los poliedros como construidos por triángulos; visión que se obtiene al extenderlos sobre un plano y someterlos al proceso de triangulación.

Quizá no quepa duda de que algunos poliedros se ajustan a la fórmula de Euler, pero sí la hay de que el razonamiento de Cauchy explique por qué es así. Como señala Lakatos, Cauchy no se dio cuenta de que la supresión de triángulos que se tocan entre sí debía hacerse con mucho cuidado para que la fórmula pudiera seguir manteniéndose.

Lhuilier y Hessel encontraron cada uno una excepción al teorema de Euler y a la demostración de Cauchy. En la figura 15 (página 223) se muestra un cubo encajado en otro, pudiendo considerarse que el cubo interior perfila un hueco dentro del grande. Una inspección directa del número de caras, aristas y vértices muestra que no satisface el teorema; y tampoco se presta al experimento mental de Cauchy, pues al suprimir una cara de cualquiera de ambos cubos no se puede extender sobre el plano la figura resultante. Si se supone que las demostraciones establecen de una vez por todas la verdad de una proposición, entonces algo debe de andar mal con el contraejemplo. Quizá esta definición esté mal hecha y lo que hubiera debido entenderse por poliedro fuera una superficie, y no un sólido, con caras poligonales. (ver figura 16 página 223).

Moëbius ya había dado una definición de poliedro que hubiera eliminado este contraejemplo: un poliedro, definió, es un sistema de polígonos tal que dos polígonos comparten una arista y en él siempre se puede pasar de una cara a otra sin pasar por un vértice. Aunque la reelaboración que hace Moëbius del significado de poliedro excluye los ejemplos de Hessel, aún quedan otros que burlan sus defensas, como el de la figura 17 (página 224), que satisface la definición de Moebius pero no se somete a la demostración de Cauchy pues no puede aplanarse.

(Ver figura 18, página 224) Todo este proceso se debe a que el teorema empezó siendo una generalización inductiva. Se propone una demostración y es el mismo hecho de intentar probar que es correcta el que expone la generalización a todo tipo de críticas. Los contraejemplos revelan que nos estaba claro lo que era un poliedro y se tiene que decidir cuál es el significado del término “poliedro”, que había quedado indeterminado en la zona de sombra proyectada por los contraejemplos. Entonces la demostración y el propio alcance del teorema ya pueden consolidarse gracias a la creación de una elaborada estructura de definiciones, que  tienen su origen en el conflicto que había surgido entre la demostración y los contrajemplos.

Lakatos nos recuerda lo que el consejo de Lord Mansfield pasa por alto: que la idea que orienta una demostración es un recurso valioso. Cumple un papel parecido al de los modelos físicos de Mill: delimita el intento de comprensión de un asunto a la luz de cierto modelo, que utiliza para establecer conexiones y analogías. Hay dos formas principales por las que la idea que rige una demostración funciona como un recurso:

1.    Permite anticipar contraejemplos o crearlos.

2.    Lo mismo si vale para demostrar el teorema como si no, la idea que se ensayó en la demostración sigue existiendo y podrá usarse como guía para trabajos posteriores.

Lakatos pretende mostrar con su ejemplo que las matemáticas, como las demás ciencias, proceden por conjeturas y refutaciones. Manifiesta que quiere, como también el sociólogo, disipar ese aura de perfección estática e inexorable unidad que las rodea. Si hay un enfoque popperiano de las matemáticas, incorporará las críticas, los desacuerdos y el cambio; y cuanto más radicales, mejor. Desde esta perspectiva, en las matemáticas no hay esencias lógicas últimas como tampoco hay últimas esencias materiales.

Lakatos concentra su atención en lo que llama “matemáticas informales”, que son los sectores de crecimiento que aún no han sido organizados como sistemas deductivos rigurosos. “Formalizar” un sector de las matemáticas significa presentar sus resultados de manera que se deriven de cierto conjunto de axiomas enunciados explícitamente. Si algo es obvio sólo se debe a que no se lo ha sometido a una crítica en profundidad. La crítica des-trivializa lo trivial y pone de manifiesto precisamente cuánto damos por supuesto en lo que nos parece evidente por sí mismo. Ninguna verdad lógica de apariencia sencilla y trivial puede aportar, por tanto, fundamento último alguno al conocimiento matemático.

Al rechazar la idea de que la auténtica naturaleza de las matemáticas descanse en los sistemas axiomáticos y formalizados, Lakatos muestra que para él, como también para Mill, lo informal tiene prioridad sobre lo formal.

Ofrecer una demostración de una proposición matemática es más bien, para Lakatos, como ofrecer una explicación teórica de un resultado empírico en las ciencias de la naturaleza; las demostraciones explican por qué una proposición, o un resultado conjetural, es cierta. Una demostración puede refutarse con contraejemplos y recuperarse después reajustados el alcance y los contenidos de las definiciones y categorizaciones. La idea que rige una demostración y es eficaz en cierto ámbito puede utilizarse otra vez de manera diferente en otro ámbito, tal como ocurre con los modelos y las metáforas en la teorización física. Al igual que las teorías, las demostraciones dotan de ciertos significados a lo que explican. Que toda regla puede reinterpretarse y toda idea puede desarrollarse de maneras nuevas. En principio, el pensamiento informal siempre puede burlar el pensamiento formal. Los periodos de cambios rápidos en matemáticas, en los que hay una crítica activa de los fundamentos, se consideran favorables; aquellos otros periodos en los que las definiciones, axiomas, resultados y demostraciones se dan por hecho aparecen como períodos de estancamiento.

Lakatos considera que los períodos de estancamiento se corresponden con las “ciencia Normal”, donde ciertos desarrollos matemáticos y ciertos estilos de razonamiento adquieren la apariencia de verdades eternas. Lo que se considera lógico es lo que se da por supuesto, En cada momento dado, las matemáticas se desarrollan según (y se basan en) lo que los matemáticos dan por supuesto: no tienen más fundamento que el social.

El rechazo de los supuestos lineales y progresistas que caracterizaron a las anteriores generaciones de historiadores de la ciencia se ha convertido hoy en un lugar común.

Los historiadores son ahora más proclives que antes a investigar la integridad de diferentes estilos de trabajo, a relacionar los datos entre sí de modo que se enmarquen en épocas más o menos delimitadas, cada una con sus propias preocupaciones, paradigmas. No deja de construirse, igual que antes, una unidad subyacente; y se siguen haciendo conjeturas sobre los pensamientos que se ocultan bajo los documentos que los matemáticos dejan tras de sí.

Si la sociología de las matemáticas consiste simplemente en esa manera de escribir la historia, los historiadores de las matemáticas pueden pretender razonablemente que la sociología del conocimiento es algo que ya están haciendo ellos. Más importante son los problemas que se quieren iluminar; son las cuestiones teóricas que el investigador consigue o no aclarar las que determinan so la historia tiene algo que decir a la sociología del conocimiento.

¿Qué problemas debe abordar la historia de las matemáticas para ayudar a la sociología del conocimiento?: debe ayudar a entender cómo y pro qué la gente piensa como realmente piensa, que debe ayudar a entender cómo se generan los pensamientos y cómo adquieren, conservan y pierden su condición de conocimientos. Debe arrojar luz sobre cómo nos comportamos, cómo funcionan nuestras cabezas y de qué naturaleza son las opiniones, las creencias y los juicios. Cómo se construyen las matemáticas a partir de componentes naturalistas: experiencias, procesos mentales, tendencias naturales, hábitos, patrones de comportamiento e instituciones. Y para ellos es necesario ir más allá de un estudio de los resultados del pensamiento: buscar tras los productos, los actos mismos de producción.

Volviendo a la discusión de Lakatos sobre el teorema de Euler: la gente no está gobernada por sus ideas y conceptos, que son los hombres quienes gobiernan a las ideas y no al revés. Las ideas se desarrollan gracias a contribuciones activas, se han construido y fabricado de manera que puedan extenderse, Esas extensiones de sus usos y significados no les son pre-existentes, no están previamente contenidas en los conceptos como en una embrión. A la hora de enfrentarse con los contraejemplos, el significado del concepto es algo que sencillamente no existía; no había nada escondido dentro del concepto que nos obligara a entenderlo de una manera u otra, nada que pudiera impulsarnos a decidir que debía quedar incluido bajo su ámbito y qué debía excluirse.

La extensión y reelaboración de conceptos seguramente están estructuradas y determinadas por las fuerzas en presencia en el momento de la elección, fuerzas que pueden ser totalmente diferentes según los individuos. El vínculo se establece por medio de las semejanzas y diferencias percibidas entre el nuevo objeto y los casos anteriores. La tendencia psicológica se ve coartada por un límite de orden social. El primitivo hábito, que quizá sea el más fuerte, entrará en conflicto con las recientes restricciones. Es fácil percibir cómo las experiencias anteriores pueden presionar en un sentido u otro, Tampoco es difícil apreciar que las extensiones que sufren los usos de un concepto no se orientan según un pretendido significado real de los mismos, sino más bien por causa de diversos factores que dependen de la experiencia pasada. El hecho de apreciar el papel creativo de la negociación aumenta la necesidad de una perspectiva sociológica. Este enfoque destruye el mito de que las ideas trazan el camino que han de seguir los pensadores, descarta esa escurridiza creencia en que el papel que juegan las ideas en la conducta de la gente excluye las causas de tipo social, como si esos dos elementos se opusieran.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 18

Los infinitésimos

A veces se dice que una curva se compone “en realidad” de muchos pequeños segmentos de recta; y, evidentemente, esa analogía entre una curva regular y una colección de segmentos enlazados entre sí aumenta cuanto más pequeños y numerosos son esos segmentos, Este tipo de intuiciones son las que dieron origen a la idea de magnitudes infinitamente pequeñas o infinitésimos, así como a la noción de límite. La larga historia de estas ideas culminó en el cálculo infinitesimal.; ver las superficies y los sólidos como si estuvieran compuestos de segmentos o rebanadas, respectivamente; este procedimiento permite captar intelectualmente ciertas formas qie, de otro, modo no se comprenderían. (ver figura 8 página 192)

En los SXVI y XVII el uso de los infinitésimos llegó a hacerse habitual en el pensamiento matemático; Cavalieri recurrió a establecer analogías entre la manera en que puede constituirse un sólido a partir de segmentos infinitesimales y la manera en que un libro se compone de sus páginas. Sugirió que una superficie estaba hecha de líneas infinitesimales del mismo modo que un tejido se hace con hilos finísimos. Un uso particularmente atrevido de los infinitésimos fuel el que hizo Wallis para encontrar un triángulo compuesto de minúsculos paralelogramos cuyo grosos es “apenas el de una línea”. El área de cada paralelogramo es prácticamente igual a su base por su altura (ver figura 9 página 193). El área total es evidentemente la suma de las áreas de todos los paralelogramos. Wallis sabía que la suma de los términos de una progresión aritmética es el producto del número de términos por su valor medio, y no vio razón alguna por la que dejar de aplicar este modelo de inferencia a esa sucesión infinita de segmentos infinitesimales (ver fórmulas página 193). Algunos pensadores como Cavalieri, eran escépticos sobre la realidad de los infinitésimos; otros, como Galileo, desarrollaron largos argumentos filosóficos en su favor.

Para los matemáticos modernos los términos en los que Wallis hace sus cálculos no tienen ningún significado preciso. Los historiadores no han dejado de reconocer lo valioso que fue ese relajamiento del rigor, pues permitió por primera vez que ese tipo de expresiones figurara en los cálculos. El griego Arquímedes también vio la utilidad de imaginar que las figuras planas se cotaran en rodajas, y usó esta idea, junto con otras metáforas más mecánicas todavía, para facilitar la intuición matemática de algunas formas y figuras difíciles de tratar.

Arquímedes esboza las líneas maestras de este “método de teoremas mecánicos” en una carta en la que subraya que él no prueba ni demuestra realmente los teoremas que propone. Una verdadera demostración es una demostración geométrica, y no una que se base en metáforas de formas que se cortan en rodajas o se equilibran entre sí. Tales demostraciones geométricas satisfacían la exigencias de no utilizar infinitos actuales. Es interesante señalar que los matemáticos renacentistas no conocían el método empleado por Arquímedes.

El gran énfasis en el rigor que marcó las matemáticas del SXIX reinstauró la prohibición sobre los infinitos actuales y los infinitésimos que ya había dominado en Grecia pero que se había desvanecido en el SXVI.

Estas oscilaciones hacen pensar que en las matemáticas podría haber dos factores o procesos diferentes que se encuentran en tensión entre sí o que, al menos, se mezclan en distintas proporciones. Bajo las matemáticas que hoy asociamos con el cálculo infinitesimal ha habido una constante intuición de que las curvas regulares, las figuras planas o los sólidos pueden verse como si estuvieran realmente constituidos por cortes; se trata de un modelo o metáfora que a menudo atrae a la gente cuando piensa en estas cuestiones. Por supuesto, las matemáticas no son los mismo que el pensamiento intuitivo; siempre se han impuesto normas de demostración y de lógica.

El inconveniente fue la confusión y la divergencia de opiniones; hubo más espacio para las creencias personales y las desviaciones creativas, pero la certeza quedó amenazada ante la proliferación incontrolada de desacuerdos, anomalías y singularidades. Las operaciones básicas del cálculo y la intuición de similitudes, modelos y metáforas pueden considerarse como los aspectos empíricos o experimentales de las matemáticas, correspondiéndose con los datos aportados por la experiencia y los experimentos en las ciencias naturales. No parece haber razones, por tanto, para tratar a las matemáticas de manera distinta a las ciencias empíricas.

Conclusión

Hemos presentado una serie de casos que pueden entenderse como modos diferentes de pensamiento matemático. Esas matemáticas diferían de las nuestras en su estilo, sus significaciones, sus analogías y sus criterios de fundamentación. Estas discordancias son significativas y reclaman una explicación, que bien pudiera encontrarse en causas de tipo social. Estos ejemplo muestran que las matemáticas se fundan en la experiencia pero en una experiencia que resulta de seleccionar ciertos hechos según criterios mudables, una experiencia a la que se dota de significados, conexiones y usos que también son variables. Una parte de la experiencia sirve de modelo para tratar numerosos problemas; cómo esos modelos se generalizan mediante analogías y metáforas.

Estas variaciones y discordancias en el pensamiento matemático suelen ocultarse. Una de las teorías empleadas consiste en insistir en que un determinado estilo de pensamiento sólo merece el nombre de matemáticas en la medida en que se asemeja al nuestro.

No puede escribirse historia sin llevar a cabo un proceso de interpretación. Al establecer comparaciones y contrastes, al discriminar lo valioso de lo descartable, al separar lo significativo de lo insignificante, al tratar de encontrar un sistema o cierta coherencia, al interpretar lo que parece oscuro o incongruente, al cubrir las lagunas o al descartar los errores, al explicar lo que los pensadores habrían podido o debido hacer si hubieran tenido más información, más luces o más suerte, al hacer un comentario detallada que reconstruya los supuestos y las creencias subyacentes…, nos es necesario para entender nuestra historia, pero lo importante es que nos preguntemos qué normas vamos a imponer y qué preocupaciones nos van a guiar en ese trabajo de construir nuestro sentido del pasado.

Si los historiadores quieren mostrar el carácter acumulativo de las matemáticas, pueden hacerlo gracias a ese dispositivo interpretativo. En lugar de mostrar la existencia de matemáticas alternativas, el trabajo se centrará ahora en separar el trigo de la paja. Cajori subraya que las matemáticas son la ciencia acumulativa por excelencia, que en ellas nada se pierde y que las contribuciones del pasado más remoto brillan con el mismo esplendor que las aportaciones actuales.

Esas virtudes se ponen al servicio de una visión general progresista, y esa visión es la que debe ponerse en entredicho. Hay discontinuidades y variaciones tanto en el interior de las matemáticas como entre lo que es matemática y lo que no lo es. Debemos recurrir a otras estimaciones como, por ejemplo, los mecanismos del pensamiento lógico y matemático. De ello trataba también la discusión entre Ferge y Mill.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 17

El número pitagórico y platónico

Los griegos usaban el cálculo por motivos prácticos en la plaza del mercado, pero distinguían radicalmente este uso del número de la elevada contemplación de sus propiedades. Distinción que se corresponde con la discriminación que hacían entre logística y aritmética, o entre una aritmética práctica y otra teórica; se corresponde a su vez con una discriminación social. Para Platón, son los amantes de la sabiduría, los filósofos, quienes deben gobernar en una sociedad bien ordenada.

La contemplación teórica del número comprendía una de sus propiedades, llamada eidos. Klein explica que este término hace referencia ala “especie” o el “tipo” del número, o más literalmente a su “forma”, “figura” o “aspecto”. Hay que recordar que el número griego es únicamente número de cosas, y los números de cosas siempre pueden representarse como números de puntos. Estos puntos pueden disponerse a menudo formando figuras características, como cuadrados, triángulos o rectángulos, de modo que resulta natural hablar de números cuadrados, números triangulares o números rectangulares u oblongos (ver figuras página 184).

Una vez que los números se han clasificado así en categorías, pueden estudiarse las propiedades en términos de formas o eidos. Los griegos usaban un artificio llamado gnomon, que era un número figurado que, al añadirse a alguna de las figuras anteriores, no alteraba su configuración general.

Lo primero que salta a la vista en este enfoque de la aritmética es lo bien que encaja en el análisis de Mill. Se trata de un caso histórico en el que el conocimiento de los números se lleva a cabo observado objetos sometidos a operaciones simples de ordenamiento y clasificación.

La segunda observación se refiere a lo que esta aritmética tiene de particular, y no a lo que en ella hay de universal. Resalta cómo cristaliza cierto elemento de la experiencia (el gnomon) para convertirse en una herramienta especializada de investigación. Las matemáticas modernas y la teoría de números también muestran cierto interés por los tipos de números, pero no se parecen en nada a ese enfoque clasificatorio de los pitagóricos y los platónicos posteriores, En ellos, la aritmética a veces toma el aspecto de una historia natural de los tipos y de las especies y subespecies de las formas de los números.

¿Qué interés puede tener esta aritmética teórica?: los pensadores de la época fundaban sobre ella todo un sistema de clasificación en el que se representaban simbólicamente la sociedad, la vida y la naturaleza: en el orden y la jerarquía que se manifiestan en esa aritmética ven ellos condensados tanto la unidad del cosmos como las aspiraciones y el papel que en él juega el hombre. Los distintos tipos de números significan instancias como la Justicia, La Armonía o lo Divino.

Los modos de correspondencia entre matemáticas y mundo natural se manifiestan, en su nivel más simple, en la correlación que establece los pitagóricos y neoplatónicos entre propiedades sociales, naturales y numéricas. Su célebre Tabla de los Opuestos ilustra esa distribución de categorías:

Indefinido Definido

Múltiple Uno

Izquierdo Derecho

Femenino Masculino

Oscuro Claro

Malo Bueno

Par Impar

Móvil Estático

Oblongo Cuadrado

Pero el número no sólo simboliza las fuerzas cósmicas sino que se supone que posee una eficacia divina o que participa de ella en alguna manera, de modo que el conocimiento del número era un medio de situarse mentalmente en ciertos estados superiores de fuerza moral y de gracia.

Stevin era un representante de las auténticas matemáticas mientras que sus adversarios eran más bien anti-matemáticos; el suyo no era otro modo de hacer matemáticas sino un modo de no hacerlas en absoluto. Si no concedemos al misticismo numerológico rango de matemáticas, ni siquiera puede plantearse la cuestión de si se trata o no de otra matemática. Y si lo que hacemos es dividir los casos históricos en dos categorías, una que incorpora los componentes genuinamente matemáticos y otra que no merece llamarse matemáticas.

Lo que se opone a una sociología de las matemáticas es esa idea de que las matemáticas gozan de vida y significado propios, esto es, suponer que sus símbolos encierran en sí mismos unas significaciones intrínsecas que están ahí aguardando simplemente a ser percibidas o comprendidas.

La metafísica de la raíz de dos

Hoy se da por supuesto que la raíz de dos es un número, a saber, el número que, al multiplicarse por sí mismo, da como producto el número 2. Habitualmente se dice que es un número irracional, denominación heredada de una época en que había un notable interés sobre cuál era si condición. El problema está en que no hay ninguna fracción p/q que sea igual a la raíz de dos. (Ver fórmulas página 188).

Para nosotros, si no es racional es que es irracional, pero para los griegos no era así. Para ellos, lo que se ha demostrado con lo anterior es que la raíz de dos no es un número en absoluto, Por más que la raíz de dos no fuera un número, sí correspondía, sin embrago, a una longitud geométrica bien definida: por ejemplo, la de la hipotenusa de una triángulo rectángulo cuyos lados tuvieran de longitud la unidad. Esto nos da una idea del abismo que separaba la geometría de la aritmética.

¿Demuestra que la raíz de dos no es un número o que es un número irracional? Es evidente que lo que demuestra depende del marco de presupuestos sobre el número en cuyo interior se consideran los cálculos. Si por número se entiende básicamente el número destinado a contar, una colección de puntos, entonces el cálculo significa algo muy distinto que si el número se asocia intuitivamente con la imagen de un segmento de una línea continua.

Imaginemos una cultura donde la gente haya aprendido muchas cosas importantes sobre aritmética pero apenas haya concedido importancia a las categorías de lo par e impar, que las utilicen en sus cálculos pero que no supusieran para ellos un auténtico criterio de demarcación; una cultura que nunca hubiera soñado con erigir una Tabla de los Opuestos como la de los pitagóricos ni, mucho menos, con entrelazar lo par y lo impar con otras dicotomías cósmicas.  Después de todo, la noche se funde con el día, lo bueno con lo malo y lo blanco con lo negro. Un cálculo como el anterior podría allí entenderse, del modo más rotundo y natural, como una demostración de que los números pueden ser simultáneamente pares e impares, lo que además vendría a confirmar su creencia en que no es nada realista trazar fronteras rígidas.

Estas condiciones son de orden social, en el sentido de que residen en el sistema de clasificaciones y significaciones que una cultura sustenta de forma colectiva. Son condiciones que pueden variar y, en la medida en que lo hagan, variará también el significado de los objetos matemáticos.

Si el sentido particular de una cálculo depende del conjunto de presupuestos compartidos, su influencia general es aún más contingente. Al descubrimiento de las magnitudes irracionales se le llama habitualmente la “crisi de los irracionales” en la matemática griega, y se trataba efectivamente de una crisis porque la separación entre magnitud y número que el descubrimiento evocaba en los griegos se oponía a su anterior hábito de imaginar las líneas y las formas compuestas por puntos. Quizá un Roberval griego prematuro  hubiera evitado la crisis de los irracionales, pero lo que sí es cierto es que el teorema sobre la raíz cuadrada de dos no impidió a Roberval desarrollar sus trabajos.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 16

El “Uno”, ¿es un número?

En las matemáticas griegas era un lugar común decir que el uno no es un número, que no es no par ni impar sino par-impar, o que dos no es un número par. Hoy todas estas afirmaciones son falsas. Para nosotros el uno es tan número como cualquier otro, y Frege lo usa como tal en sus argumentos sin pensárselo dos veces. El uno es número impar así como el dos es par, y no hay una categoría como ésa de par-impar. ¿En qué estaban pensando entonces los griegos?

Decían que el uno no es un número porque en él veían el punto de arranque o de origen de todos los números. Aristóteles decía “uno es lo que mide una multiplicidad, y el número es una multiplicidad medida i una multiplicidad de medidas. Por tanto, es evidente que el uno no es un número; pues la unidad de medida no es una multiplicidad de medidas, sino que ambas (unidad de medida y uno) son principios”.

Caso lo que hoy rechazamos como un absurdo lógico sea mañana una verdad evidente. Lo que se percibe como absurdo parece depender de la clasificación subyacente que se presupone. La clasificación griega de los números es, en parte, similar a la nuestra, también ellos los dividían entre pares e impares. Se debe a que el uno genera tanto a los pares como a los impares, por lo que debe participar de la naturaleza de ambos: está situado aparte y por encima de la dicotomía par/impar. En Grecia se le concede al uno un papel similar en cuanto a su capacidad de transgredir las categorías.

A veces también al dos se le negaba la categoría de número por ser el generador de los números pares. Estas diferencias en los modos de clasificar pueden ser síntomas de algo más profundo: una divergencia entre los estilos cognitivos propios de las matemáticas griegas y de las nuestras.

Jacob Klein opina que es un error situar la noción de número en una única tradición ininterrumpida de significaciones. Para él, la noción de número no es algo que se va ampliando, sin más, para incluir primero los números irracionales, después los números reales y finalmente los números complejos. Klein llama la intención del número, de manera que cuando, por ejemplo, los algebristas del renacimiento asimilan los trabajos del matemático alejandrino Diofanto lo que está haciendo es reinterpretándole. La continuidad que creemos percibir en la tradición matemática es un artefacto, construido proyectando hacia atrás nuestro propio estilo de pensamiento para encontrarlo así en trabajos anteriores.

La diferencia entre el antiguo concepto de número y el moderno está, para Klein, en que el primero era siempre número de algo, siempre se trataba de una cantidad determinada u se refería a una colección de entidades, ya fueran objetos perceptibles, como cabezas de ganado, o unidades puras concebidas por el pensamiento mediante abstracción de cualesquiera objetos particulares. Klein aduce que esta noción de número es radicalmente diferente de la que hoy se utiliza en álgebra.

(Ver cálculo de Diofanto, página 176 y siguientes)

Este tipo de cálculo lo consideramos hoy como un cálculo algebraico: se tiene una cantidad desconocida, se plantea una ecuación y se manipula hasta que aparece le valor de la incógnita. Basta un vistazo a la obra de Diofanto para darse cuanta de que el pensamiento de su autor es diferentes de aquél en que descansa el álgebra elemental actual. Todo el álgebra de Diofanto consiste en buscar números muy concretos; no da a sus procedimiento algebraicos el mismo alcance general que nosotros sino que los subordina siempre a problemas numéricos. Cada vez que sus cálculo le llevan a lo que nosotros llamaríamos números negativos, Diofanto rechaza el problema inicial aduciendo que es imposible de resolver o que está mal planteado. Todo él se orienta a encontrar valores numéricos concretos.

La dificultad que encontramos es la de aprender a dejar de ver lo que nos han enseñado a ver. El problema es conseguir llegar a imaginar cómo serían las cosas desde esta otra perspectiva, no como una perspectiva truncada sino tan global como la nuestra, tan capaz de dar sentido a todo un mundo como capaces lo somos nosotros.

Una manera de percibir estas diferentes aproximaciones a lo numérico es observar lo diferentes que pueden llegar a ser las expectativas e intuiciones que guían a los matemáticos actuales en comparación con Diofanto. Hankel empieza por señalar que Diofanto trata de problemas muy diferentes, a los que aparentemente no une ningún principio común: “para cada cuestión recurre a un método especial que, a menudo, no vale siquiera para los problemas más parecidos. (…) como la trama de sus problemas no parece obedecer a ninguna necesidad científica, sino tan sólo a dar con una solución para cada uno, esa misma solución carece de una significación global y profunda. (…) le falta ese pensamiento especulativo que busca la Verdad más que la Precisión”.

El testimonio de Hankel es la mejor evidencia fenomenológica de que el trabajo de Diofanto se inscribe en un pensamiento matemático diferente del nuestro. La idea de que el número era un número de unidades, y que la propia unidad tenía una naturaleza distinta, se mantuvo hasta el SXVI. Simon Stevin afirma su convicción de que el uno es un número. Stevin razonaba diciendo que, si el número está compuesto de unidades, la unidad también forma parte del número, como la parte debe ser de la misma naturaleza que el todo, la unidad es un número. Para aceptar la premisa de que la parte es idéntica al todo, antes hay que estar de acuerdo en que los números sea homogéneos y continuos; su idea es que, de hecho, el número es análogo a la longitud, tamaño o magnitud.

Así, la nueva manera de clasificar los números depende de ver cómo puede asociarse el número a un línea, y ésta es precisamente la analogía que quedaba excluida con el anterior énfasis en la discontinuidad inherente al acto de contar. En las experiencias anteriores y en los actuales propósitos, elementos ambos que deben verse a su vez sumergidos en su contexto social y perfilados contra el telón de fondo de nuestras tendencias naturales y psicológicas.

Los números vinieron a cumplir una nueva función al utilizarse para indicar las propiedades del movimiento y del cambio. El número era una ilustración simbólica del orden y la jerarquía de los seres, por lo que tenía una dimensión metafísica y teológica. La nueva concepción del número estaba estrechamente ligada a la tecnología del SXVI.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 15

¿Puede haber otras matemáticas?

Para algunos sociólogos la idea de que las matemáticas puedan variar igual que varía la organización social es un absurdo monstruoso. Sólo algunos autores se han levantado contra esta aparente evidencia. Oswald Spengler afirma sin vacilación: “ni hay ni puede haber número en sí. Hay diferentes mundos de números porque hay diferentes culturas”.

¿Qué aspecto tendrían?, ¿por qué señales las reconoceríamos?, ¿a qué podrían llamarse matemáticas alternativas?

¿Qué aspecto tendrían unas matemáticas alternativas?

Una matemática alternativa parecería un error o algo inapropiado. Al menos algunos de sus métodos y deducciones violarían nuestro sentido de las propiedades lógicas y cognitivas. También podría ocurrir que esas matemáticas alternativas estuvieran sumergidas en un contexto global cuyos fines y significados fueran del todo extraños a nuestras matemáticas, de modo que su propósito nos fuera completamente opaco. Se necesita algo más que errores para poder hablar de otras matemáticas.

Los errores que aparecieran en unas matemáticas alternativas habrían de ser sistemáticos, básicos y firmemente mantenidos. A quienes trabajaran en esas otras matemáticas esos errores habrían de parecerles algo con sentido y que se relacionan coherentemente entre sí; actuarían según lo que, para ellos, sería un método natural y evidente.

En lugar de ser algo coherente y compartido, podría ocurrir que fuera precisamente esa falta de acuerdo lo que distinguiera esa matemática de la nuestra. Para nosotros, el consenso o acuerdo es la esencia de las matemáticas, pero acaso las discusiones y desacuerdo fueran precisamente lo característico de otras matemáticas. Esa ausencia de acuerdo sería entonces, para quienes las practicaran. La auténtica naturaleza de su actividad, así como en muchos sitios la religión se considera un asunto privado.

Si algo las satisficiera tendríamos buenas razones para considerarlo como otra matemática. No cabe duda de que los errores lógicos que han llegado a institucionalizarse no son menos erróneos que los errores individuales. ¿puede haber morales alternativas? La única manera de responder a quienes practican una moral absolutista es decir que, en otra moral, la gente admite sistemáticamente ciertas cosas que para el absolutista, sin embrago, son pecado. Esa otra moral no tendría por qué ser considerada como aberrante por la sociedad, puesto que ella misma se habría convertido ahora en norma, pese a que se hubiera distinguido precisamente por apartarse de la moral común. El absolutista moral despacharía el problema diciendo que la moralidad no deja de serlo por darse a escala social o nacional, que el pecado institucionalizado sigue siendo pecado pues la sociedades pueden ser tan perversas como los individuos.

Por eso el antropólogo sólo hablará de sistemas morales alternativos so están inscritos y establecidos en la vida de una cultura. Y esa será la nota que también habremos de encontrar en las matemáticas si queremos hablar razonablemente de otras matemáticas.

El mundo no consiste en culturas aisladas que desarrollan cada una una moral autónoma y un estilo cognitivo independiente. Existen contactos y transferencias culturales, de modo que el mestizaje social conlleva también mestizajes cognitivos y morales. Además, las matemáticas, como la moral, se orientan a satisfacer exigencias de gentes con una fisiología y un entorno físico bastante semejantes, lo que es un factor añadido de uniformidad. Las alternativas en matemáticas habrán, pues, de buscarse teniendo en cuenta estas restricciones naturales. Las únicas realidades a las que necesitamos recurrir son las que asume la teoría modificada de Mill, esto es, los mundos natural y social. Para una ciencia social empírica, lo importante es cómo explicar mediante causas naturales esas pautas de uniformidad y variación o discordancia en las creencias, sea cual sea si amplitud.

Ofreceré ejemplos de cuatro tipos de discordancias en el pensamiento matemático, a cada una de las cuales puede remitirse a causas sociales:

1.    Una discordancia en el estilo cognitivo en su conjunto.

2.    Una discordancia en la estructura de las asociaciones, relaciones, usos, analogías e implicaciones metafísicas atribuidas a las matemáticas.

3.    Discordancias en los significados asociados a los cálculos y a las manipulaciones simbólicas.

4.    Una discordancia en el rigor y el tipo de razonamiento empleado para demostrar un resultado.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte XIV

La teoría de Mill modificada por factores sociológicos

¿De qué son números los números?, Mill dice: “evidentemente, de alguna propiedad que pertenece a los agregados de cosas, y esa propiedad es el modo característico en que el agregado está constituido por ellas y mediante el cual puede ser dividido en partes”. Mill debe estar reaccionando inconscientemente a las mismas presiones que llevaron a Frege a insistir en que los números no son inherentes a los objetos, sin más, sino que dependen  del modo en que se mire a esos objetos. La idea que Mill presupone involuntariamente es, por tanto, que no todas las distribuciones, ordenaciones o clasificaciones de objetos son relevantes como experiencias paradigmáticas en matemáticas. Entre los innumerables juegos a los que puede jugarse con guijarros, sólo los que siguen ciertos modelos o pautas alcanzarán esa categoría especial que son los modos característicos de disponer y organizar los guijarros. Exactamente igual, no todos los innumerables modelos o pautas posibles con los que puede tejerse una alfombra serán igual de significativos para un grupo dado de tejedores tradicionales.

El punto al que Frege dirige su ataque es precisamente ése en el que la teoría de Mill deja atisbar que está necesitada de un componente sociológico para poner orden en la multitud de maneras de experimentar las propiedades de los objetos. El lenguaje de Mill pone de manifiesto que, de hecho, está reaccionando ante esa componente social, pero la deja escapar; y es justo esa laguna la que deja su teoría expuesta a las objeciones de Frege. La idea fundamental de Frege es que la teoría de Mills sólo se refiere a los aspectos meramente físicos de las situaciones que considera, que no acierta a captar lo que en cada situación hay de específicamente matemático. Esa componente ausente podemos ahora detectarla en el ámbito de lo típico, de los convencional, en todo aquello que hace que se les conceda a ciertos modelos el rango de características.

Una teoría que intente fundamentar las matemáticas en los objetos como tales, y no capte que hay ciertos modelos que resultan seleccionados y dotados de una categoría especial, ofrecería graves deficiencias pese a los prometedores que pudieran ser sus planteamientos. De entre todos los comportamientos posibles, sólo juegan el papel de modelos aquellos que siguen pautas fijadas o ritualizadas socialmente.

Frege se pregunta qué experiencia o hecho físico es el que puede corresponder a los números muy grandes o incluso a los números 0 y 1. Y si los números son propiedades de objetos externos, ¿Cómo podemos hablar razonablemente de tres ideas o de tres emociones, que son evidentemente objetos externos?

Lo que Frege dice del número 1 es que tener la simple experiencia de una cosa no es lo mismo que encontrar el número uno, y de ahí que en un caso se use el artículo indefinido mientras que en el otro se usa el artículo definido. Se trata de algo a lo que se mira de un modo especial y con una propósito especial, el propósito ritualizado de contar. El número 1 no corresponde a una cosa sino a todo lo que se contemple como elemento de un patrón o modelo característico. El número es el papel o la función, y no debe confundirse con uno u otro objeto que venga indiferentes a jugar ese papel o cumplir esa función.

¿Y cuál  es la experiencia asociada al cero? Frege insiste triunfalmente en que nadie ha tenido la experiencia de cero guijarros. Y todos los números, incluido el cero, tienen el mismo rango y del cero no tenemos ninguna experiencia, Frege concluye que tampoco la experiencia juega el menor papel en nuestro conocimiento de cualesquiera otros números.

La idea de que los números tienen el mismo rango que los papeles y las instituciones sociales acaso sea aún más sugerente en el caso del cero que en los de los demás números. Por exigencias de homogeneidad, si el cero es un artefacto convencional deben serlo también los restantes números.

Ahora viene la cuestión de los números muy grandes. No podemos tener experiencia de cómo repartir un millón de objetos del mismo modo que podemos hacerlo con cinco o diez. Hay dos opciones generales para explicar el hecho de que la experiencia y la aritmética se solapen sólo parcialmente. Puede interpretarse como Frege lo hace, en cuyo caso la débil conexión y correspondencia entre aritmética y experiencia es meramente fortuita; o bien puede utilizarse para dotar a esa débil conexión de una importancia máxima e intentar mostrar entonces cómo puede deducirse todo a partir de ella. Eso es lo que hace Mill.

El caso de la aritmética de los grandes números habrá de poder derivarse de aquellos otros que sí estén directamente relacionados con situaciones empíricas. Podemos dar cuenta de la aritmética basándonos en experiencias a pequeña escala, puesto que esta experiencia aporta modelos, procedimientos y técnicas susceptibles de aplicarse y extenderse indefinidamente. No hay ninguna incompatibilidad entre la teoría de Mill y una aritmética que funcione en ámbitos que no puedan ejemplificarse directamente en nuestra experiencia.

Frege se pregunta cómo, a partir de la teoría de Mill, pueden numerarse cosas inmateriales, como cuando decimos que los celos, la envidia y la codicia son tres emociones diferentes. Se debe enfocar una vez más el modo en que las situaciones empíricas pueden actuar como modelos. Estas situaciones deben ser tales que siempre se pueda asociarlas con todos los casos en que se aplica la aritmética. La razón de que puede hablarse de tres ideas debe residir, según esta teoría, en nuestra capacidad y habilidad para hablar de ideas como si de objetos se tratara. Nuestra aritmética sólo será aplicable en la medida en que estemos dispuestos a usar la metáfora del objeto.

¿utilizamos realmente a los objetos como modelos o metáforas cuando pensamos en fenómenos psíquicos? Como los fenómenos mentales son tan diferentes de los objetos físicos, sólo una fuerte determinación y una acusada tendencia a pensar en términos metafóricos puede aproximarlos.

Poincaré habla de sus ideas como si fueran moléculas de la teoría cinética de gases, agitándose en todas direcciones, colisionando e incluso fundiéndose entre ellas. Al adoptar la metáfora del atomismo, Poincaré está siguiendo una larga tradición de atomismo psicológico; pero la cuestión no es si esa tradición está o no equivocada sino que, equivocada o acertada, esa tendencia a usar la metáfora del objeto es algo asentado. Y puede valer para explicar lo que Frege pensó que nunca podrá explicar la teoría de Mill, a saber, la aplicación del número a las ideas, así como el mecanismo de su aplicabilidad en general.

¿Cómo pueden aplicarse los números a los estados mentales? El gran logro de la psicofísica del SXIX fue encontrar modos de comprender matemáticamente ciertos procesos mentales y, en particular, formular la ley de Weber-Fechner; la intensidad de una sensación es proporcional al logaritmo del estímulo. El paso crucial que permitió esa formulación fue encontrar un modo de segmentar los procesos mentales tal que los segmentos obtenidos pudieran contarse, pues entonces podía ya recurrirse al formidable aparato de la aritmética y el cálculo para obtener la formulación matemática de la ley. La estratagema utilizada para obtener unidades segmentadas y numerables fue introducir la noción de “diferencia precisa perceptible”: se incrementaba gradualmente cierto tono o peso hasta que el sujeto podía percibir el cambio. Se encontró que la medida de esta diferencia precisa perceptible era proporcional a la medida del estímulo. Según la teoría aritmética de Mill, este proceso de segmentación no es sino el medio de establecer la analogía entre la sensación subjetiva y el objeto, de manera que se puedan aplicar los procedimientos matemáticos habituales; es un modo de proyectar los estados psíquicos sobre objetos numerables y extender así la metáfora del objeto discreto.

Si esta argumentación es correcta, puede decirse que el ámbito de la aritmética es el ámbito de la metáfora del objeto material. En la medida en que podmaos ver algo como objetos a los que aplicar imaginariamente las operaciones de ordenamiento y clasificación podremos, asimismo, aplicar a ese algo las operaciones aritméticas de contar y numerar. El lazo o transición que hay entre aritmética y mundo es el lazo de una identificación metafórica entre entidades inicialmente desiguales. El comportamiento de los objetos simples, que está en la base de la aritmética, sirve como teoría para explicar el comportamiento de otros procesos y, como en la aplicación de cualquier teoría, el problema ya no es sino el de aprender a mirar las nuevas situaciones como casos de ejemplos ya conocidos o más familiares. La tendencia de Frege a mirar los objetos aritméticamente como algo puro y separado de los objetos materiales crea un abismo entre las matemáticas y el mundo. Con la teoría de Mill no es necesario lanzar arriesgados puentes entre territorios diferentes, pues nace del mundo y crece a partir de su modesto origen empírico.

Resumen y conclusión

La lógica de Mill aporta la idea fundamental de que las situaciones físicas sirven de modelos para los pasos que se dan en el razonamiento matemático. Las objeciones de Frege hacen ver cuál es ese ingrediente ausente: la teoría de Mill no hace justicia a la objetividad del conocimiento matemático, no da cuenta de la naturaleza ineluctable de sus deducciones, no explica por qué las conclusiones matemáticas dan esa sensación de no poder ser distintas de las que son. Aún somos libres de imaginar que los objetos podrían comportarse de modo distinto al que lo hacen, lo cual no nos es posible respecto de las matemáticas. El componente psicológico aporta el contenido de las ideas matemáticas y el componente sociológico explica cómo se lleva a cabo la selección entre distintos modelos físicos y cómo se dota de un aura de autoridad al modelo seleccionado. Gracias al recurso a los conceptos de modelo y metáfora, nos ha sido también posible contestar sus objeciones sobre los grandes números y sobre el amplio campo al que se aplica la aritmética.

El problema menor se refiere a la sensación antes apuntada de que hace falta cierta Realidad para dar cuenta de las matemáticas. Parte de esa realidad la forma el mundo de los objetos físicos y, otra parte, la sociedad. Pero si las matemáticas versan sobre el número y sus relaciones y si éstos son creaciones y convenciones sociales, entonces las matemáticas tratan, de hecho, sobre algo social. Puede decirse que tratan de la sociedad, que tratan de la sociedad en el mismo sentido en que Durkheim dice que la religión trata de la sociedad. La conexión y el modo de participación implicados siempre quedan tan sólo insinuados y nunca se explicitan, así cuando Frege habla vagamente, no de que los números sean conceptos, sino de “descubrir los números en los conceptos” o de la “transparencia” de los conceptos puros del intelecto. Mi teoría podría sostenerse razonablemente si consigue comprender algunos de los hechos más sobresalientes y sugerir líneas claras de desarrollo.

El problema más importante concierne a la unicidad de las matemáticas, y apenas hemos dicho nada sobre ello; no cabe la menor duda de que, según nuestra teoría, la creencia en que la matemática es única tiene exactamente el mismo rango que la creencia en que sólo hay una verdad moral.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte XIII

Las críticas de Frege a Mill

Mill trata las matemáticas como un conjunto de creencias sobre el mundo físico que surgen de la experiencia que tenemos de ese mundo. Los dos elementos centrales de su análisis son:

1.    Las creencias y procesos de pensamiento entendidos como acontecimientos mentales.

2.    Las situaciones físicas sobre las que versan las creencias.

La crítica de Frege abre dos frentes de ataque. Crítica la concepción de los números como cosas mentales o subjetivas; y aquella que refiere los números a objetos físicos o a propiedades de éstos. Para Mill los fundamentos de las matemáticas están en su anclaje psicológico, en los procesos fundamentales mediante los que se genera y se transmite el conocimiento.

Frege procede de un modo completamente diferente. Él se enfrenta a una definición de las matemáticas como “pensamiento mecánico acumulativo”, le parece una “tosquedad típica”. Frege se esfuerza especialmente en mantener una frontera entre las matemáticas, por un lado, y las ciencias psíquicas y naturales, por el otro. Los conceptos matemáticos, afirma, tienen un refinamiento en su estructura y una pureza mayores quizá que los de ninguna otra ciencia. Frege va a mistificar y deificar el concepto de número y los principales básicos de las matemáticas, confiriéndoles un rango de objetos misteriosos investidos de un poder excepcional.

Mary Douglas llama la atención sobre lo que denomina la “regla de pureza”. Para ella todas las culturas tienen de modo natural a simbolizar el status social elevado y el fuerte control social mediante un rígido control de los cuerpos. El invocar la regla de pureza bien puede ser una reacción natural ante una amenaza.

¿Por qué nos interesa el estilo de pensamiento de Frege? Porque revela una visión de las matemáticas netamente diferente del enfoque naturalista que aquí proponemos. Consideremos primero el rechazo por parte de Frege de que el número es algo de naturaleza subjetiva, mental o psicológica. Su argumentación consiste en resaltar las diferencias entre las propiedades de las entidades psicológicas, como las ideas o las experiencias, y las propiedades de las nociones matemáticas.

Al tratar los números como ideas que están en la cabeza de la gente, se desprenden consecuencias bien curiosas. Desde un punto de vista sociológico, la gente no comparte ideas; éstas son estados propios de las mentes individuales, de manera que una idea debe considerarse siempre como propia de alguien. En lugar de decir que el número dos es una idea en sí, el psicólogo hablará más bien de tu idea de dos o mi idea de dos. Como si el número dos no fuera del todo mental sino el contenido extramental de esos estados mentales. Aunque habitualmente se hable del número dos, todo lo que realmente existe es una multitud de ideas individuales cada una de las cuales puede reclamar, en paridad con las otras, ser el número dos. Habrá tantos doses como ideas hay sobre él, lo que se aparta considerablemente del modo habitual de ver las cosas.

Puede decirse que la teoría de Mill tiene un componente objetivo en el hecho de que la aritmética trata sobre las propiedades generales de los objetos, como esos guijarros tan despreciados por Frege. Aquí, el argumento central es que el número no puede ser una propiedad de las cosas porque el modo en que las cosas se numeran depende de nuestra manera de verlas. Dice Frege: “de un objeto al que puede adscribir legítimamente diferentes números no puede decirse que posea un cierto número”. La importancia de nuestra manera de ver muestra que ahí interviene un proceso cognitivo que enlaza el objeto exterior con el acto de atribuirle un número. Para Frege esto interpone una cuña entre los objetos y el auténtico lugar del número, lo que significa que “no podemos asignar simplemente el Número al objeto como haríamos con un predicado”.

El número no es algo que encontremos ahí en el mundo sin más problemas. Hay algo en la naturaleza de los conceptos de número que los hace diferentes de los objetos y de sus propiedades tal y como los solemos pensar. El número no es algo psicológico, ni es algo que se dé simplemente en los guijarros de Mill.

Frege ha expulsado al número tanto del mundo psíquico como del mundo material. Entonces el razonamiento de Frege hace del número un perfecto no-ser. Evidentemente, no es así como él ve las cosas. Existe una tercera posibilidad. Parte de los objetos psíquicos y físicos, están los que Ferge llama objetos de Razón o Conceptos, los cuales poseen la más importante de todas las propiedades: la llamada objetividad. Frege entiende por objetivo aquello que es independiente de nuestras sensaciones y de las representaciones mentales que descansan en ellas, pero aquello que es independiente de nuestra razón.

Debo aceptar que Frege tiene toda la razón al afirmar que las matemáticas son objetivas. Así como debo también aceptar su definición (negativa y positiva) de objetividad. No nos dice, sin embargo, qué es en realidad la objetividad.

Aceptada la definición de objetividad de Frege, ¿qué es lo que la satisface?

¿Qué hay que no sea no mental ni físico, que sea real aunque no exista de hecho, y que pueda ejemplificarse en una noción como la del ecuador? (Ver ejemplo del ecuador página 155) Se admite que las fronteras tienen el rango de convenciones sociales, lo que no quiere decir que sean meras o arbitrarias convenciones. Un individuo puede tener ideas acertadas o equivocadas sobre ellas, y no desaparecen aunque nadie consiga hacerse una imagen mental de ellas. Tampoco son objetos físicos que puedan manipularse o percibirse, aunque utilizarse objetos reales como signos visibles o indicaciones suyas. Por último, podemos referirnos a ellas aunque hagamos alusión a acontecimientos ocurridos mucho tiempo antes de que nadie las hubiera definido.

Todo aquello que tiene el rango propio de las instituciones sociales acaso esté íntimamente logado a la objetividad. Incluso podemos conjeturar la hipótesis de que quizá ese tercer rango tan especial que se sitúa entre lo físico y lo psíquico es de orden social, y solamente social.

El centro de gravedad del sistema solar y el eje de la Tierra. ¿Podemos decir que estos objetos son de naturaleza social? El eje de la Tierra no es de esas realidades de las que tenemos manifiesta experiencia como la propia Tierra sobre la que caminamos. Tanta insistencia indica que estas nociones juegan un papel central en nuestra concepción de la realidad y, en particular, en las teorías mecánicas que ocupan un lugar privilegiado en esa concepción. Esta realidad no es una realidad física sino una representación del mundo sistemática y altamente elaborada. Sus lazos con la experiencia individual son bien tenues. Dos de los conceptos que elige Frege como ejemplos de objetividad son nociones teóricas; pero la componente teórica del conocimiento es precisamente la componente social.

La mejor manera de dar un significado sustancial a la definición fregeana de objetividad es asimilarla con los social. La creencia institucionalizada satisface por completo su definición: eso es la objetividad. Si las cosas fueran así, la sociología sería una amenaza aún mayor que la psicología para la pureza y dignidad de las matemáticas. Los argumentos de Ferge estaban concebidos para mantener inmaculadas las matemáticas, y aún así concibió una definición de objetividad que se presta a interpretación sociológica. Podemos así adoptar la definición que da Ferge de objetividad, sin dejar por ello de postular que las matemáticas son de naturaleza social más que psicológica o meras propiedades de los objetos físicos. Esto nos llevará al problema de cómo puede modificarse la teoría de Mill de modo que pueda venir a alojar los procesos sociales que entran en juego junto con los procesos psíquicos.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte XII

Un enfoque naturalista de las matemáticas

Se intentará mostrar que es posible emprender una sociología de las matemáticas, en el sentido del programa fuerte.

La experiencia típica de las matemáticas

Las matemáticas incorporan verdades que tienen su carácter irresistible o ineluctable. Quizá se asemejen a las verdades de sentido común sobre los objetos familiares que nos rodean. Así que las verdades matemáticas no sólo son ineluctables, sino también únicas e inmutables. La autoridad de una verdad matemática, tal como se nos presenta a la conciencia, es al menos similar a la autoridad moral absoluta. El individuo aborda las matemáticas como un cuerpo de verdades que debe dominar. Lo correcto y lo erróneo están claramente delimitados, culturas diferentes hacen diferentes contribuciones a nuestro actual estado de conocimientos, pero estas contribuciones se presentan como facetas de un único cuerpo creciente de teoremas. Mientras que existen diferencias culturales evidentes, todas las culturas desarrollan las mismas matemáticas, o algún aspecto particular de un único y auto-consistente cuerpo de matemáticas. No hay nada parecido a lo que pudiera llamarse una matemática “alternativa”.

Debe haber alguna Realidad que sea responsable de esta curiosa situación en la que un cuerpo de verdad auto-consistente parece ir siendo aprehendida cada vez con mayor detalle y con mayor amplitud. Esa Realidad debe ser la que describen los enunciados matemáticos y a la que tienen como referencia sus verdades. En cierto modo los números parecen ser objetos y uno se siente tentado a plantear si existe algo así como el número tres, pero por desgracia el sentido común da respuestas contradictorias a una cuestión como ésa. El número tres parece ser tanto una entidad única como a la vez, algo que es tan diversa como requiere su multitud se apariciones y uso. Simultáneamente parece uno y muchos.

Ese carácter único e ineluctable forma parte de la fenomenología de las matemáticas. Ninguna explicación sobre la naturaleza de las matemáticas tiene por qué plantear esas apariencias como verdades, pero sí tiene que explicarlas como tales apariencias. Lo que hace falta es un enfoque más crítico y más naturalista.

Entre los enfoques naturalistas más prometedores está el del psicólogo que estudia cómo se aprenden las matemáticas; un conjunto de técnicas, creencias y procesos de pensamiento en el que deben iniciarse los individuos. Un enfoque así, junto con el correspondiente análisis de las ideas matemáticas, puede calificarse de psicologismo.

La teoría de J.S. Mill sobre las matemáticas

Para los empiristas, el conocimiento proviene de la experiencia; de modo que, para un empirista coherente, si las matemáticas son conocimiento, también ellas deben provenir de la experiencia.

El propósito de Mill declara en su Lógica es el de mostrar que las ciencias deductivas, como la geometría y la aritmética, no son sino variedades de las ciencias inductivas, como la física o la química, Así “las ciencias Deductivas o Demostrativas son todas, sin excepción, Ciencias Inductivas, su evidencia es la de la experiencia”. La idea fundamental de Mill es que, al aprender las matemáticas, recurrimos a nuestro bagaje de experiencias sobre las experiencias y comportamientos de los objetos materiales. También tenemos conocimiento de hechos que se aplican indiferentemente a ámbitos muy amplios.

En esta categoría de hechos la que Mill piensa que subyace a las matemáticas. El agrupamiento y la organización de objetos físicos suministran modelos para nuestros procesos mentales, de modo que cuando pensamos matemáticamente estamos apelando tácitamente a ese saber. Mill admite que a menudo pudiera parecernos que estamos operando con meros signos sobre la página, pero es que habitualmente no nos damos cuenta de que actuamos por referencia a la experiencia física sobre la que descansa todo el proceso.

El planteamiento de Mill tiene tres importantes consecuencias:

1.    Le lleva a distinguir una estructura y desarrollo internos en creencias que suelen entenderse como algo aprehendido de modo simple e inmediato.

2.    El enfoque de Mill está claramente relacionado con ideas educativas: hay que rechazar la manipulación formal de símbolos escritos en beneficio de las experiencias físicas subyacentes que les correspondan.

3.    Se deduce de estas ideas pedagógicas. Encontrar elementos que apoyen el análisis de Mill; debe ser posible contemplar cómo se crea el conocimiento matemático a partir de nuestra experiencia; debe ser posible sacar a luz esos hechos empíricos que se dice que actúan como modelos en los procesos de razonamiento matemático. (Revisar ejemplo de la aritmética de los guijarros de Mill, página 147)

(x + 2)x + 1 = (x + 1) al cuadrado; al analizar esta ecuación, Dienes muestra cómo se apoya perfectamente en las operaciones físicas de ordenamiento uy clasificación antes descritas. (ver las diferentes ecuaciones página 148). Gracias a sencillas manipulaciones con piezas de construcción, indica cómo trabajar con sistemas de numeración de bases diferentes, cómo factorizar formas cuadráticas y resolver ecuaciones; presenta también construcciones físicas de logaritmos, potencias, vectores y grupos matemáticos; incluso aporta analogías materiales y perceptivas de tal elegancia y simetría que van orientando sin esfuerzo el razonamiento matemático.

La perspectiva de Mill es prometedora. Los objetos físicos, las situaciones y las manipulaciones pueden funcionar claramente como modelos de las diversas operaciones matemáticas básicas. Las experiencias de tales operaciones físicas pueden plausiblemente presentarse como la base empírica del pensamiento matemático. Para que pueda hacer justicia al conocimiento matemático será necesario su sustancial desarrollo y enriquecimiento, Ahora bien, esa mejora pasa por analizar sus limitaciones, puestas de manifiesto por la aguda crítica de Frege.