viernes, 12 de julio de 2013

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte XII


Un enfoque naturalista de las matemáticas

Se intentará mostrar que es posible emprender una sociología de las matemáticas, en el sentido del programa fuerte.

La experiencia típica de las matemáticas

Las matemáticas incorporan verdades que tienen su carácter irresistible o ineluctable. Quizá se asemejen a las verdades de sentido común sobre los objetos familiares que nos rodean. Así que las verdades matemáticas no sólo son ineluctables, sino también únicas e inmutables. La autoridad de una verdad matemática, tal como se nos presenta a la conciencia, es al menos similar a la autoridad moral absoluta. El individuo aborda las matemáticas como un cuerpo de verdades que debe dominar. Lo correcto y lo erróneo están claramente delimitados, culturas diferentes hacen diferentes contribuciones a nuestro actual estado de conocimientos, pero estas contribuciones se presentan como facetas de un único cuerpo creciente de teoremas. Mientras que existen diferencias culturales evidentes, todas las culturas desarrollan las mismas matemáticas, o algún aspecto particular de un único y auto-consistente cuerpo de matemáticas. No hay nada parecido a lo que pudiera llamarse una matemática “alternativa”.

Debe haber alguna Realidad que sea responsable de esta curiosa situación en la que un cuerpo de verdad auto-consistente parece ir siendo aprehendida cada vez con mayor detalle y con mayor amplitud. Esa Realidad debe ser la que describen los enunciados matemáticos y a la que tienen como referencia sus verdades. En cierto modo los números parecen ser objetos y uno se siente tentado a plantear si existe algo así como el número tres, pero por desgracia el sentido común da respuestas contradictorias a una cuestión como ésa. El número tres parece ser tanto una entidad única como a la vez, algo que es tan diversa como requiere su multitud se apariciones y uso. Simultáneamente parece uno y muchos.

Ese carácter único e ineluctable forma parte de la fenomenología de las matemáticas. Ninguna explicación sobre la naturaleza de las matemáticas tiene por qué plantear esas apariencias como verdades, pero sí tiene que explicarlas como tales apariencias. Lo que hace falta es un enfoque más crítico y más naturalista.

Entre los enfoques naturalistas más prometedores está el del psicólogo que estudia cómo se aprenden las matemáticas; un conjunto de técnicas, creencias y procesos de pensamiento en el que deben iniciarse los individuos. Un enfoque así, junto con el correspondiente análisis de las ideas matemáticas, puede calificarse de psicologismo.


La teoría de J.S. Mill sobre las matemáticas

Para los empiristas, el conocimiento proviene de la experiencia; de modo que, para un empirista coherente, si las matemáticas son conocimiento, también ellas deben provenir de la experiencia.

El propósito de Mill declara en su Lógica es el de mostrar que las ciencias deductivas, como la geometría y la aritmética, no son sino variedades de las ciencias inductivas, como la física o la química, Así “las ciencias Deductivas o Demostrativas son todas, sin excepción, Ciencias Inductivas, su evidencia es la de la experiencia”. La idea fundamental de Mill es que, al aprender las matemáticas, recurrimos a nuestro bagaje de experiencias sobre las experiencias y comportamientos de los objetos materiales. También tenemos conocimiento de hechos que se aplican indiferentemente a ámbitos muy amplios.

En esta categoría de hechos la que Mill piensa que subyace a las matemáticas. El agrupamiento y la organización de objetos físicos suministran modelos para nuestros procesos mentales, de modo que cuando pensamos matemáticamente estamos apelando tácitamente a ese saber. Mill admite que a menudo pudiera parecernos que estamos operando con meros signos sobre la página, pero es que habitualmente no nos damos cuenta de que actuamos por referencia a la experiencia física sobre la que descansa todo el proceso.

El planteamiento de Mill tiene tres importantes consecuencias:

1.    Le lleva a distinguir una estructura y desarrollo internos en creencias que suelen entenderse como algo aprehendido de modo simple e inmediato.
2.    El enfoque de Mill está claramente relacionado con ideas educativas: hay que rechazar la manipulación formal de símbolos escritos en beneficio de las experiencias físicas subyacentes que les correspondan.
3.    Se deduce de estas ideas pedagógicas. Encontrar elementos que apoyen el análisis de Mill; debe ser posible contemplar cómo se crea el conocimiento matemático a partir de nuestra experiencia; debe ser posible sacar a luz esos hechos empíricos que se dice que actúan como modelos en los procesos de razonamiento matemático. (Revisar ejemplo de la aritmética de los guijarros de Mill, página 147)

(x + 2)x + 1 = (x + 1) al cuadrado; al analizar esta ecuación, Dienes muestra cómo se apoya perfectamente en las operaciones físicas de ordenamiento uy clasificación antes descritas. (ver las diferentes ecuaciones página 148). Gracias a sencillas manipulaciones con piezas de construcción, indica cómo trabajar con sistemas de numeración de bases diferentes, cómo factorizar formas cuadráticas y resolver ecuaciones; presenta también construcciones físicas de logaritmos, potencias, vectores y grupos matemáticos; incluso aporta analogías materiales y perceptivas de tal elegancia y simetría que van orientando sin esfuerzo el razonamiento matemático.

La perspectiva de Mill es prometedora. Los objetos físicos, las situaciones y las manipulaciones pueden funcionar claramente como modelos de las diversas operaciones matemáticas básicas. Las experiencias de tales operaciones físicas pueden plausiblemente presentarse como la base empírica del pensamiento matemático. Para que pueda hacer justicia al conocimiento matemático será necesario su sustancial desarrollo y enriquecimiento, Ahora bien, esa mejora pasa por analizar sus limitaciones, puestas de manifiesto por la aguda crítica de Frege.