Un enfoque naturalista de las
matemáticas
Se
intentará mostrar que es posible emprender una sociología de las matemáticas,
en el sentido del programa fuerte.
La experiencia típica de las
matemáticas
Las
matemáticas incorporan verdades que tienen su carácter irresistible o
ineluctable. Quizá se asemejen a las verdades de sentido común sobre los
objetos familiares que nos rodean. Así que las verdades matemáticas no sólo son
ineluctables, sino también únicas e inmutables. La autoridad de una verdad
matemática, tal como se nos presenta a la conciencia, es al menos similar a la
autoridad moral absoluta. El individuo aborda las matemáticas como un cuerpo de
verdades que debe dominar. Lo correcto y lo erróneo están claramente
delimitados, culturas diferentes hacen diferentes contribuciones a nuestro
actual estado de conocimientos, pero estas contribuciones se presentan como
facetas de un único cuerpo creciente de teoremas. Mientras que existen
diferencias culturales evidentes, todas las culturas desarrollan las mismas
matemáticas, o algún aspecto particular de un único y auto-consistente cuerpo
de matemáticas. No hay nada parecido a lo que pudiera llamarse una matemática
“alternativa”.
Debe
haber alguna Realidad que sea responsable de esta curiosa situación en la que
un cuerpo de verdad auto-consistente parece ir siendo aprehendida cada vez con
mayor detalle y con mayor amplitud. Esa Realidad debe ser la que describen los
enunciados matemáticos y a la que tienen como referencia sus verdades. En cierto
modo los números parecen ser objetos y uno se siente tentado a plantear si
existe algo así como el número tres, pero por desgracia el sentido común da
respuestas contradictorias a una cuestión como ésa. El número tres parece ser
tanto una entidad única como a la vez, algo que es tan diversa como requiere su
multitud se apariciones y uso. Simultáneamente parece uno y muchos.
Ese
carácter único e ineluctable forma parte de la fenomenología de las
matemáticas. Ninguna explicación sobre la naturaleza de las matemáticas tiene
por qué plantear esas apariencias como verdades, pero sí tiene que explicarlas
como tales apariencias. Lo que hace falta es un enfoque más crítico y más
naturalista.
Entre
los enfoques naturalistas más prometedores está el del psicólogo que estudia
cómo se aprenden las matemáticas; un conjunto de técnicas, creencias y procesos
de pensamiento en el que deben iniciarse los individuos. Un enfoque así, junto
con el correspondiente análisis de las ideas matemáticas, puede calificarse de psicologismo.
La teoría de J.S. Mill sobre las
matemáticas
Para
los empiristas, el conocimiento proviene de la experiencia; de modo que, para
un empirista coherente, si las matemáticas son conocimiento, también ellas
deben provenir de la experiencia.
El
propósito de Mill declara en su Lógica es el de mostrar que las ciencias
deductivas, como la geometría y la aritmética, no son sino variedades de las
ciencias inductivas, como la física o la química, Así “las ciencias Deductivas
o Demostrativas son todas, sin excepción, Ciencias Inductivas, su evidencia es
la de la experiencia”. La idea fundamental de Mill es que, al aprender las
matemáticas, recurrimos a nuestro bagaje de experiencias sobre las experiencias
y comportamientos de los objetos materiales. También tenemos conocimiento de
hechos que se aplican indiferentemente a ámbitos muy amplios.
En
esta categoría de hechos la que Mill piensa que subyace a las matemáticas. El
agrupamiento y la organización de objetos físicos suministran modelos para
nuestros procesos mentales, de modo que cuando pensamos matemáticamente estamos
apelando tácitamente a ese saber. Mill admite que a menudo pudiera parecernos
que estamos operando con meros signos sobre la página, pero es que
habitualmente no nos damos cuenta de que actuamos por referencia a la
experiencia física sobre la que descansa todo el proceso.
El
planteamiento de Mill tiene tres importantes consecuencias:
1.
Le lleva a
distinguir una estructura y desarrollo internos en creencias que suelen
entenderse como algo aprehendido de modo simple e inmediato.
2.
El enfoque de
Mill está claramente relacionado con ideas educativas: hay que rechazar la
manipulación formal de símbolos escritos en beneficio de las experiencias
físicas subyacentes que les correspondan.
3.
Se deduce de
estas ideas pedagógicas. Encontrar elementos que apoyen el análisis de Mill;
debe ser posible contemplar cómo se crea el conocimiento matemático a partir de
nuestra experiencia; debe ser posible sacar a luz esos hechos empíricos que se
dice que actúan como modelos en los procesos de razonamiento matemático.
(Revisar ejemplo de la aritmética de los guijarros de Mill, página 147)
(x
+ 2)x + 1 = (x + 1) al cuadrado; al analizar esta ecuación, Dienes muestra cómo
se apoya perfectamente en las operaciones físicas de ordenamiento uy
clasificación antes descritas. (ver las diferentes ecuaciones página 148).
Gracias a sencillas manipulaciones con piezas de construcción, indica cómo
trabajar con sistemas de numeración de bases diferentes, cómo factorizar formas
cuadráticas y resolver ecuaciones; presenta también construcciones físicas de
logaritmos, potencias, vectores y grupos matemáticos; incluso aporta analogías
materiales y perceptivas de tal elegancia y simetría que van orientando sin
esfuerzo el razonamiento matemático.
La
perspectiva de Mill es prometedora. Los objetos físicos, las situaciones y las
manipulaciones pueden funcionar claramente como modelos de las diversas
operaciones matemáticas básicas. Las experiencias de tales operaciones físicas
pueden plausiblemente presentarse como la base empírica del pensamiento
matemático. Para que pueda hacer justicia al conocimiento matemático será
necesario su sustancial desarrollo y enriquecimiento, Ahora bien, esa mejora
pasa por analizar sus limitaciones, puestas de manifiesto por la aguda crítica
de Frege.
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