miércoles, 17 de julio de 2013

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 16


El “Uno”, ¿es un número?

En las matemáticas griegas era un lugar común decir que el uno no es un número, que no es no par ni impar sino par-impar, o que dos no es un número par. Hoy todas estas afirmaciones son falsas. Para nosotros el uno es tan número como cualquier otro, y Frege lo usa como tal en sus argumentos sin pensárselo dos veces. El uno es número impar así como el dos es par, y no hay una categoría como ésa de par-impar. ¿En qué estaban pensando entonces los griegos?

Decían que el uno no es un número porque en él veían el punto de arranque o de origen de todos los números. Aristóteles decía “uno es lo que mide una multiplicidad, y el número es una multiplicidad medida i una multiplicidad de medidas. Por tanto, es evidente que el uno no es un número; pues la unidad de medida no es una multiplicidad de medidas, sino que ambas (unidad de medida y uno) son principios”.

Caso lo que hoy rechazamos como un absurdo lógico sea mañana una verdad evidente. Lo que se percibe como absurdo parece depender de la clasificación subyacente que se presupone. La clasificación griega de los números es, en parte, similar a la nuestra, también ellos los dividían entre pares e impares. Se debe a que el uno genera tanto a los pares como a los impares, por lo que debe participar de la naturaleza de ambos: está situado aparte y por encima de la dicotomía par/impar. En Grecia se le concede al uno un papel similar en cuanto a su capacidad de transgredir las categorías.

A veces también al dos se le negaba la categoría de número por ser el generador de los números pares. Estas diferencias en los modos de clasificar pueden ser síntomas de algo más profundo: una divergencia entre los estilos cognitivos propios de las matemáticas griegas y de las nuestras.

Jacob Klein opina que es un error situar la noción de número en una única tradición ininterrumpida de significaciones. Para él, la noción de número no es algo que se va ampliando, sin más, para incluir primero los números irracionales, después los números reales y finalmente los números complejos. Klein llama la intención del número, de manera que cuando, por ejemplo, los algebristas del renacimiento asimilan los trabajos del matemático alejandrino Diofanto lo que está haciendo es reinterpretándole. La continuidad que creemos percibir en la tradición matemática es un artefacto, construido proyectando hacia atrás nuestro propio estilo de pensamiento para encontrarlo así en trabajos anteriores.

La diferencia entre el antiguo concepto de número y el moderno está, para Klein, en que el primero era siempre número de algo, siempre se trataba de una cantidad determinada u se refería a una colección de entidades, ya fueran objetos perceptibles, como cabezas de ganado, o unidades puras concebidas por el pensamiento mediante abstracción de cualesquiera objetos particulares. Klein aduce que esta noción de número es radicalmente diferente de la que hoy se utiliza en álgebra.

(Ver cálculo de Diofanto, página 176 y siguientes)
Este tipo de cálculo lo consideramos hoy como un cálculo algebraico: se tiene una cantidad desconocida, se plantea una ecuación y se manipula hasta que aparece le valor de la incógnita. Basta un vistazo a la obra de Diofanto para darse cuanta de que el pensamiento de su autor es diferentes de aquél en que descansa el álgebra elemental actual. Todo el álgebra de Diofanto consiste en buscar números muy concretos; no da a sus procedimiento algebraicos el mismo alcance general que nosotros sino que los subordina siempre a problemas numéricos. Cada vez que sus cálculo le llevan a lo que nosotros llamaríamos números negativos, Diofanto rechaza el problema inicial aduciendo que es imposible de resolver o que está mal planteado. Todo él se orienta a encontrar valores numéricos concretos.

La dificultad que encontramos es la de aprender a dejar de ver lo que nos han enseñado a ver. El problema es conseguir llegar a imaginar cómo serían las cosas desde esta otra perspectiva, no como una perspectiva truncada sino tan global como la nuestra, tan capaz de dar sentido a todo un mundo como capaces lo somos nosotros.

Una manera de percibir estas diferentes aproximaciones a lo numérico es observar lo diferentes que pueden llegar a ser las expectativas e intuiciones que guían a los matemáticos actuales en comparación con Diofanto. Hankel empieza por señalar que Diofanto trata de problemas muy diferentes, a los que aparentemente no une ningún principio común: “para cada cuestión recurre a un método especial que, a menudo, no vale siquiera para los problemas más parecidos. (…) como la trama de sus problemas no parece obedecer a ninguna necesidad científica, sino tan sólo a dar con una solución para cada uno, esa misma solución carece de una significación global y profunda. (…) le falta ese pensamiento especulativo que busca la Verdad más que la Precisión”.

El testimonio de Hankel es la mejor evidencia fenomenológica de que el trabajo de Diofanto se inscribe en un pensamiento matemático diferente del nuestro. La idea de que el número era un número de unidades, y que la propia unidad tenía una naturaleza distinta, se mantuvo hasta el SXVI. Simon Stevin afirma su convicción de que el uno es un número. Stevin razonaba diciendo que, si el número está compuesto de unidades, la unidad también forma parte del número, como la parte debe ser de la misma naturaleza que el todo, la unidad es un número. Para aceptar la premisa de que la parte es idéntica al todo, antes hay que estar de acuerdo en que los números sea homogéneos y continuos; su idea es que, de hecho, el número es análogo a la longitud, tamaño o magnitud.

Así, la nueva manera de clasificar los números depende de ver cómo puede asociarse el número a un línea, y ésta es precisamente la analogía que quedaba excluida con el anterior énfasis en la discontinuidad inherente al acto de contar. En las experiencias anteriores y en los actuales propósitos, elementos ambos que deben verse a su vez sumergidos en su contexto social y perfilados contra el telón de fondo de nuestras tendencias naturales y psicológicas.

Los números vinieron a cumplir una nueva función al utilizarse para indicar las propiedades del movimiento y del cambio. El número era una ilustración simbólica del orden y la jerarquía de los seres, por lo que tenía una dimensión metafísica y teológica. La nueva concepción del número estaba estrechamente ligada a la tecnología del SXVI.