Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 20

Las paradojas del infinito

Consideremos de nuevo el silogismo: todos los A son B, C es A, luego C es B. He sostenido que este razonamiento se basa en nuestra experiencia de la inclusión y de la clausura. El todo es mayor que la parte. (Ver figura 10, página 205).

Uno puede sentirse tentado a suponer que, como las experiencias de clausura son iguales para todos, grabarán este principio en todas las mentes de modo uniforme y sin excepción. No es sorprendente que quienes creen en la universalidad de la lógica lo citen como prueba.

Stark no está diciendo que esa verdad sea innata. Permite que proceda de la experiencia, pero es tan directa su conexión con la experiencia que no puede insinuarse que nada se interponga entre la mente u la aprehensión directa de esta necesidad. Siempre y en todo lugar, el todo es mayor que la parte. Esta idea se encuentra en todas las culturas, se trata de un aspecto de nuestra experiencia al que siempre podemos apelar y que siempre tiene aplicación. En matemáticas hay un campo llamado “aritmética transfinita” que debe sus logros precisamente al rechazo explícito del principio de que el todo es mayor que la parte. Este ejemplo muestra que hay verdades aparentemente evidentes, respaldadas por modelos físicos convincentes, que, sin embargo pueden subvertirse y renegociarse.

Consideremos la secuencia de números enteros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Seleccionemos de este secuencia infinita otra secuencia infinita constituida sólo por los números pares: 2, 4, 6, …

1 2 3 4 5 6 7 …

2 4 6 8 10 12 14 …

Sabemos por sentido común que los números pares se pueden contar; se dice que los números pares se ponen en correspondencia uno-a-uno con los números enteros. Esta correspondencia uno-a-uno nunca se interrumpe. Supongamos que ahora decimos que los conjuntos de objetos que tienen una correspondencia uno-a-uno entre sus miembros tienen el mismo número de miembros. Intuitivamente esto parece razonable, pero en nuestro caso significa que existe la misma cantidad de números pares que de números enteros. Los números pares, sin embargo son una selección, una mera parte, un subconjunto de todos los números enteros. Por lo tanto, la parte es tan grande como el todo y el todo no es mayor que la parte.

Esta propiedad de los conjuntos infinitos ya era conocida muchos años antes del desarrollo de la aritmética transfinita, y se consideraba una prueba de que la idea misma de conjuntos de tamaño infinito era lógicamente paradójica, auto-contradictoria y defectuosa. Lo que en un momento sirvió para descartar conjuntos infinitos se aceptó más tarde como su propia definición.

¿Cómo puede una contradicción convertirse en una definición? ¿Cómo es posible esa renegociación? Lo que ha ocurrido es que el modelo de clausura física que subyace a la convicción de que el todo es mayor que sus partes ha cedido paso a otra imagen o modelo dominante: el de los objetos puestos en correspondencia uno-a-uno. Una vez que este modelo alternativo se ha convertido en centro de atención entonces la simple rutina de alinear los números pares con los números enteros se convierte en la base natural para concluir que la parte (los números pares) es tan grande como el todo (todos los números enteros). Se ha concretado y explotado un nuevo tipo de experiencia. Si los principios lógicos ineluctables resultan de una selección de elementos de nuestra experiencia, siempre podrán desafiarse apelando a otros aspectos de esa experiencia. Cuando se plantean nuevos intereses e intenciones, o nuevas preocupaciones y ambiciones, entonces se dan las condiciones necesarias para que sufran reajustes.

No hay ningún sentido absoluto que obligue a nadie a aceptar el principio de que el todo es mayor que la parte. No es la estricta significación de las palabras la que imponen ninguna conclusión. Las aplicaciones precedentes del modelo crean la presunción de que los casos nuevos que sean similares se someterán también a la misma regla, pero la presunción no es compulsión y decidir sobre una similitud es un proceso, inductivo y no deductivo. Estamos constreñidos en asuntos de lógica en el mismo sentido en que lo estamos para aceptar unas conductas como correctas y otras como erróneas; porque damos por supuesta cierta forma de vida. Wittgenstein cree correcto decir que estamos constreñidos por las leyes de la inferencia de la misma manera en que lo estamos por cualquier otra ley en la sociedad humana.