martes, 23 de julio de 2013

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 22


La negociación de una demostración en matemáticas

Euler: cuando se toma un sólido (como un cubo o una pirámide) y se cuentan el número de esquinas o vértices (V), el de aristas (a) y el de caras (C), resulta que satisfacen la fórmula: V - A + C = 2 (Ver figura 12 página 219). A las figuras de este tipo se les llama poliedros y sus caras son polígonos. Euler pensó que su fórmula era válida para todos los poliedros. Hoy no se concedería el honor de llamar teoremas a una resultado así obtenido, todo lo más se le atribuiría una certeza inductiva o moral. Un auténtico teorema debe seguirse de una prueba o demostración.

Cualquier análisis naturalista de las matemáticas debe dar cuenta de la naturaleza de la demostración y del tipo de certeza que entraña. Cauchy propuso una idea ingeniosa que parecía demostrar el teorema de Euler; se centraba en una “experimento mental” con los poliedros. (Ver figura 13 página 220). La clave de la demostración está en mostrar que la propiedad señalada por Euler es una consecuencia natural del hecho que un triángulo tenga 3 vértices, 3 aristas y, por supuesto, 1 cara. El experimento mental original no era sino una manera de poder visualizar los poliedros como construidos por triángulos; visión que se obtiene al extenderlos sobre un plano y someterlos al proceso de triangulación.

Quizá no quepa duda de que algunos poliedros se ajustan a la fórmula de Euler, pero sí la hay de que el razonamiento de Cauchy explique por qué es así. Como señala Lakatos, Cauchy no se dio cuenta de que la supresión de triángulos que se tocan entre sí debía hacerse con mucho cuidado para que la fórmula pudiera seguir manteniéndose.

Lhuilier y Hessel encontraron cada uno una excepción al teorema de Euler y a la demostración de Cauchy. En la figura 15 (página 223) se muestra un cubo encajado en otro, pudiendo considerarse que el cubo interior perfila un hueco dentro del grande. Una inspección directa del número de caras, aristas y vértices muestra que no satisface el teorema; y tampoco se presta al experimento mental de Cauchy, pues al suprimir una cara de cualquiera de ambos cubos no se puede extender sobre el plano la figura resultante. Si se supone que las demostraciones establecen de una vez por todas la verdad de una proposición, entonces algo debe de andar mal con el contraejemplo. Quizá esta definición esté mal hecha y lo que hubiera debido entenderse por poliedro fuera una superficie, y no un sólido, con caras poligonales. (ver figura 16 página 223).
Moëbius ya había dado una definición de poliedro que hubiera eliminado este contraejemplo: un poliedro, definió, es un sistema de polígonos tal que dos polígonos comparten una arista y en él siempre se puede pasar de una cara a otra sin pasar por un vértice. Aunque la reelaboración que hace Moëbius del significado de poliedro excluye los ejemplos de Hessel, aún quedan otros que burlan sus defensas, como el de la figura 17 (página 224), que satisface la definición de Moebius pero no se somete a la demostración de Cauchy pues no puede aplanarse.

(Ver figura 18, página 224) Todo este proceso se debe a que el teorema empezó siendo una generalización inductiva. Se propone una demostración y es el mismo hecho de intentar probar que es correcta el que expone la generalización a todo tipo de críticas. Los contraejemplos revelan que nos estaba claro lo que era un poliedro y se tiene que decidir cuál es el significado del término “poliedro”, que había quedado indeterminado en la zona de sombra proyectada por los contraejemplos. Entonces la demostración y el propio alcance del teorema ya pueden consolidarse gracias a la creación de una elaborada estructura de definiciones, que  tienen su origen en el conflicto que había surgido entre la demostración y los contrajemplos.

Lakatos nos recuerda lo que el consejo de Lord Mansfield pasa por alto: que la idea que orienta una demostración es un recurso valioso. Cumple un papel parecido al de los modelos físicos de Mill: delimita el intento de comprensión de un asunto a la luz de cierto modelo, que utiliza para establecer conexiones y analogías. Hay dos formas principales por las que la idea que rige una demostración funciona como un recurso:

1.    Permite anticipar contraejemplos o crearlos.
2.    Lo mismo si vale para demostrar el teorema como si no, la idea que se ensayó en la demostración sigue existiendo y podrá usarse como guía para trabajos posteriores.

Lakatos pretende mostrar con su ejemplo que las matemáticas, como las demás ciencias, proceden por conjeturas y refutaciones. Manifiesta que quiere, como también el sociólogo, disipar ese aura de perfección estática e inexorable unidad que las rodea. Si hay un enfoque popperiano de las matemáticas, incorporará las críticas, los desacuerdos y el cambio; y cuanto más radicales, mejor. Desde esta perspectiva, en las matemáticas no hay esencias lógicas últimas como tampoco hay últimas esencias materiales.

Lakatos concentra su atención en lo que llama “matemáticas informales”, que son los sectores de crecimiento que aún no han sido organizados como sistemas deductivos rigurosos. “Formalizar” un sector de las matemáticas significa presentar sus resultados de manera que se deriven de cierto conjunto de axiomas enunciados explícitamente. Si algo es obvio sólo se debe a que no se lo ha sometido a una crítica en profundidad. La crítica des-trivializa lo trivial y pone de manifiesto precisamente cuánto damos por supuesto en lo que nos parece evidente por sí mismo. Ninguna verdad lógica de apariencia sencilla y trivial puede aportar, por tanto, fundamento último alguno al conocimiento matemático.
Al rechazar la idea de que la auténtica naturaleza de las matemáticas descanse en los sistemas axiomáticos y formalizados, Lakatos muestra que para él, como también para Mill, lo informal tiene prioridad sobre lo formal.

Ofrecer una demostración de una proposición matemática es más bien, para Lakatos, como ofrecer una explicación teórica de un resultado empírico en las ciencias de la naturaleza; las demostraciones explican por qué una proposición, o un resultado conjetural, es cierta. Una demostración puede refutarse con contraejemplos y recuperarse después reajustados el alcance y los contenidos de las definiciones y categorizaciones. La idea que rige una demostración y es eficaz en cierto ámbito puede utilizarse otra vez de manera diferente en otro ámbito, tal como ocurre con los modelos y las metáforas en la teorización física. Al igual que las teorías, las demostraciones dotan de ciertos significados a lo que explican. Que toda regla puede reinterpretarse y toda idea puede desarrollarse de maneras nuevas. En principio, el pensamiento informal siempre puede burlar el pensamiento formal. Los periodos de cambios rápidos en matemáticas, en los que hay una crítica activa de los fundamentos, se consideran favorables; aquellos otros periodos en los que las definiciones, axiomas, resultados y demostraciones se dan por hecho aparecen como períodos de estancamiento.

Lakatos considera que los períodos de estancamiento se corresponden con las “ciencia Normal”, donde ciertos desarrollos matemáticos y ciertos estilos de razonamiento adquieren la apariencia de verdades eternas. Lo que se considera lógico es lo que se da por supuesto, En cada momento dado, las matemáticas se desarrollan según (y se basan en) lo que los matemáticos dan por supuesto: no tienen más fundamento que el social.

El rechazo de los supuestos lineales y progresistas que caracterizaron a las anteriores generaciones de historiadores de la ciencia se ha convertido hoy en un lugar común.

Los historiadores son ahora más proclives que antes a investigar la integridad de diferentes estilos de trabajo, a relacionar los datos entre sí de modo que se enmarquen en épocas más o menos delimitadas, cada una con sus propias preocupaciones, paradigmas. No deja de construirse, igual que antes, una unidad subyacente; y se siguen haciendo conjeturas sobre los pensamientos que se ocultan bajo los documentos que los matemáticos dejan tras de sí.

Si la sociología de las matemáticas consiste simplemente en esa manera de escribir la historia, los historiadores de las matemáticas pueden pretender razonablemente que la sociología del conocimiento es algo que ya están haciendo ellos. Más importante son los problemas que se quieren iluminar; son las cuestiones teóricas que el investigador consigue o no aclarar las que determinan so la historia tiene algo que decir a la sociología del conocimiento.

¿Qué problemas debe abordar la historia de las matemáticas para ayudar a la sociología del conocimiento?: debe ayudar a entender cómo y pro qué la gente piensa como realmente piensa, que debe ayudar a entender cómo se generan los pensamientos y cómo adquieren, conservan y pierden su condición de conocimientos. Debe arrojar luz sobre cómo nos comportamos, cómo funcionan nuestras cabezas y de qué naturaleza son las opiniones, las creencias y los juicios. Cómo se construyen las matemáticas a partir de componentes naturalistas: experiencias, procesos mentales, tendencias naturales, hábitos, patrones de comportamiento e instituciones. Y para ellos es necesario ir más allá de un estudio de los resultados del pensamiento: buscar tras los productos, los actos mismos de producción.

Volviendo a la discusión de Lakatos sobre el teorema de Euler: la gente no está gobernada por sus ideas y conceptos, que son los hombres quienes gobiernan a las ideas y no al revés. Las ideas se desarrollan gracias a contribuciones activas, se han construido y fabricado de manera que puedan extenderse, Esas extensiones de sus usos y significados no les son pre-existentes, no están previamente contenidas en los conceptos como en una embrión. A la hora de enfrentarse con los contraejemplos, el significado del concepto es algo que sencillamente no existía; no había nada escondido dentro del concepto que nos obligara a entenderlo de una manera u otra, nada que pudiera impulsarnos a decidir que debía quedar incluido bajo su ámbito y qué debía excluirse.

La extensión y reelaboración de conceptos seguramente están estructuradas y determinadas por las fuerzas en presencia en el momento de la elección, fuerzas que pueden ser totalmente diferentes según los individuos. El vínculo se establece por medio de las semejanzas y diferencias percibidas entre el nuevo objeto y los casos anteriores. La tendencia psicológica se ve coartada por un límite de orden social. El primitivo hábito, que quizá sea el más fuerte, entrará en conflicto con las recientes restricciones. Es fácil percibir cómo las experiencias anteriores pueden presionar en un sentido u otro, Tampoco es difícil apreciar que las extensiones que sufren los usos de un concepto no se orientan según un pretendido significado real de los mismos, sino más bien por causa de diversos factores que dependen de la experiencia pasada. El hecho de apreciar el papel creativo de la negociación aumenta la necesidad de una perspectiva sociológica. Este enfoque destruye el mito de que las ideas trazan el camino que han de seguir los pensadores, descarta esa escurridiza creencia en que el papel que juegan las ideas en la conducta de la gente excluye las causas de tipo social, como si esos dos elementos se opusieran.