La negociación de una demostración en
matemáticas
Euler:
cuando se toma un sólido (como un cubo o una pirámide) y se cuentan el número
de esquinas o vértices (V), el de aristas (a) y el de caras (C), resulta que
satisfacen la fórmula: V - A + C = 2 (Ver figura 12 página 219). A las figuras
de este tipo se les llama poliedros y sus caras son polígonos. Euler pensó que
su fórmula era válida para todos los poliedros. Hoy no se concedería el honor
de llamar teoremas a una resultado así obtenido, todo lo más se le atribuiría
una certeza inductiva o moral. Un auténtico teorema debe seguirse de una prueba
o demostración.
Cualquier
análisis naturalista de las matemáticas debe dar cuenta de la naturaleza de la
demostración y del tipo de certeza que entraña. Cauchy propuso una idea
ingeniosa que parecía demostrar el teorema de Euler; se centraba en una
“experimento mental” con los poliedros. (Ver figura 13 página 220). La clave de
la demostración está en mostrar que la propiedad señalada por Euler es una
consecuencia natural del hecho que un triángulo tenga 3 vértices, 3 aristas y,
por supuesto, 1 cara. El experimento mental original no era sino una manera de
poder visualizar los poliedros como construidos por triángulos; visión que se
obtiene al extenderlos sobre un plano y someterlos al proceso de triangulación.
Quizá
no quepa duda de que algunos poliedros se ajustan a la fórmula de Euler, pero
sí la hay de que el razonamiento de Cauchy explique por qué es así. Como señala
Lakatos, Cauchy no se dio cuenta de que la supresión de triángulos que se tocan
entre sí debía hacerse con mucho cuidado para que la fórmula pudiera seguir
manteniéndose.
Lhuilier
y Hessel encontraron cada uno una excepción al teorema de Euler y a la
demostración de Cauchy. En la figura 15 (página 223) se muestra un cubo
encajado en otro, pudiendo considerarse que el cubo interior perfila un hueco
dentro del grande. Una inspección directa del número de caras, aristas y
vértices muestra que no satisface el teorema; y tampoco se presta al
experimento mental de Cauchy, pues al suprimir una cara de cualquiera de ambos
cubos no se puede extender sobre el plano la figura resultante. Si se supone
que las demostraciones establecen de una vez por todas la verdad de una
proposición, entonces algo debe de andar mal con el contraejemplo. Quizá esta
definición esté mal hecha y lo que hubiera debido entenderse por poliedro fuera
una superficie, y no un sólido, con caras poligonales. (ver figura 16 página
223).
Moëbius
ya había dado una definición de poliedro que hubiera eliminado este
contraejemplo: un poliedro, definió, es un sistema de polígonos tal que dos
polígonos comparten una arista y en él siempre se puede pasar de una cara a
otra sin pasar por un vértice. Aunque la reelaboración que hace Moëbius del
significado de poliedro excluye los ejemplos de Hessel, aún quedan otros que
burlan sus defensas, como el de la figura 17 (página 224), que satisface la
definición de Moebius pero no se somete a la demostración de Cauchy pues no
puede aplanarse.
(Ver
figura 18, página 224) Todo este proceso se debe a que el teorema empezó siendo
una generalización inductiva. Se propone una demostración y es el mismo hecho
de intentar probar que es correcta el que expone la generalización a todo tipo
de críticas. Los contraejemplos revelan que nos estaba claro lo que era un poliedro
y se tiene que decidir cuál es el significado del término “poliedro”, que había
quedado indeterminado en la zona de sombra proyectada por los contraejemplos.
Entonces la demostración y el propio alcance del teorema ya pueden consolidarse
gracias a la creación de una elaborada estructura de definiciones, que tienen su origen en el conflicto que
había surgido entre la demostración y los contrajemplos.
Lakatos
nos recuerda lo que el consejo de Lord Mansfield pasa por alto: que la idea que
orienta una demostración es un recurso valioso. Cumple un papel parecido al de
los modelos físicos de Mill: delimita el intento de comprensión de un asunto a
la luz de cierto modelo, que utiliza para establecer conexiones y analogías.
Hay dos formas principales por las que la idea que rige una demostración
funciona como un recurso:
1.
Permite
anticipar contraejemplos o crearlos.
2.
Lo mismo si vale
para demostrar el teorema como si no, la idea que se ensayó en la demostración
sigue existiendo y podrá usarse como guía para trabajos posteriores.
Lakatos
pretende mostrar con su ejemplo que las matemáticas, como las demás ciencias,
proceden por conjeturas y refutaciones. Manifiesta que quiere, como también el
sociólogo, disipar ese aura de perfección estática e inexorable unidad que las
rodea. Si hay un enfoque popperiano de las matemáticas, incorporará las
críticas, los desacuerdos y el cambio; y cuanto más radicales, mejor. Desde
esta perspectiva, en las matemáticas no hay esencias lógicas últimas como
tampoco hay últimas esencias materiales.
Lakatos
concentra su atención en lo que llama “matemáticas informales”, que son los
sectores de crecimiento que aún no han sido organizados como sistemas
deductivos rigurosos. “Formalizar” un sector de las matemáticas significa
presentar sus resultados de manera que se deriven de cierto conjunto de axiomas
enunciados explícitamente. Si algo es obvio sólo se debe a que no se lo ha
sometido a una crítica en profundidad. La crítica des-trivializa lo trivial y
pone de manifiesto precisamente cuánto damos por supuesto en lo que nos parece
evidente por sí mismo. Ninguna verdad lógica de apariencia sencilla y trivial
puede aportar, por tanto, fundamento último alguno al conocimiento matemático.
Al
rechazar la idea de que la auténtica naturaleza de las matemáticas descanse en
los sistemas axiomáticos y formalizados, Lakatos muestra que para él, como
también para Mill, lo informal tiene prioridad sobre lo formal.
Ofrecer
una demostración de una proposición matemática es más bien, para Lakatos, como
ofrecer una explicación teórica de un resultado empírico en las ciencias de la
naturaleza; las demostraciones explican por qué una proposición, o un resultado
conjetural, es cierta. Una demostración puede refutarse con contraejemplos y
recuperarse después reajustados el alcance y los contenidos de las definiciones
y categorizaciones. La idea que rige una demostración y es eficaz en cierto
ámbito puede utilizarse otra vez de manera diferente en otro ámbito, tal como
ocurre con los modelos y las metáforas en la teorización física. Al igual que
las teorías, las demostraciones dotan de ciertos significados a lo que
explican. Que toda regla puede reinterpretarse y toda idea puede desarrollarse
de maneras nuevas. En principio, el pensamiento informal siempre puede burlar
el pensamiento formal. Los periodos de cambios rápidos en matemáticas, en los
que hay una crítica activa de los fundamentos, se consideran favorables;
aquellos otros periodos en los que las definiciones, axiomas, resultados y
demostraciones se dan por hecho aparecen como períodos de estancamiento.
Lakatos
considera que los períodos de estancamiento se corresponden con las “ciencia
Normal”, donde ciertos desarrollos matemáticos y ciertos estilos de
razonamiento adquieren la apariencia de verdades eternas. Lo que se considera
lógico es lo que se da por supuesto, En cada momento dado, las matemáticas se
desarrollan según (y se basan en) lo que los matemáticos dan por supuesto: no
tienen más fundamento que el social.
El
rechazo de los supuestos lineales y progresistas que caracterizaron a las
anteriores generaciones de historiadores de la ciencia se ha convertido hoy en
un lugar común.
Los
historiadores son ahora más proclives que antes a investigar la integridad de
diferentes estilos de trabajo, a relacionar los datos entre sí de modo que se
enmarquen en épocas más o menos delimitadas, cada una con sus propias
preocupaciones, paradigmas. No deja de construirse, igual que antes, una unidad
subyacente; y se siguen haciendo conjeturas sobre los pensamientos que se
ocultan bajo los documentos que los matemáticos dejan tras de sí.
Si
la sociología de las matemáticas consiste simplemente en esa manera de escribir
la historia, los historiadores de las matemáticas pueden pretender
razonablemente que la sociología del conocimiento es algo que ya están haciendo
ellos. Más importante son los problemas que se quieren iluminar; son las
cuestiones teóricas que el investigador consigue o no aclarar las que
determinan so la historia tiene algo que decir a la sociología del
conocimiento.
¿Qué
problemas debe abordar la historia de las matemáticas para ayudar a la
sociología del conocimiento?: debe ayudar a entender cómo y pro qué la gente
piensa como realmente piensa, que debe ayudar a entender cómo se generan los
pensamientos y cómo adquieren, conservan y pierden su condición de
conocimientos. Debe arrojar luz sobre cómo nos comportamos, cómo funcionan
nuestras cabezas y de qué naturaleza son las opiniones, las creencias y los
juicios. Cómo se construyen las matemáticas a partir de componentes
naturalistas: experiencias, procesos mentales, tendencias naturales, hábitos,
patrones de comportamiento e instituciones. Y para ellos es necesario ir más
allá de un estudio de los resultados del pensamiento: buscar tras los productos,
los actos mismos de producción.
Volviendo
a la discusión de Lakatos sobre el teorema de Euler: la gente no está gobernada
por sus ideas y conceptos, que son los hombres quienes gobiernan a las ideas y
no al revés. Las ideas se desarrollan gracias a contribuciones activas, se han
construido y fabricado de manera que puedan extenderse, Esas extensiones de sus
usos y significados no les son pre-existentes, no están previamente contenidas
en los conceptos como en una embrión. A la hora de enfrentarse con los
contraejemplos, el significado del concepto es algo que sencillamente no
existía; no había nada escondido dentro del concepto que nos obligara a
entenderlo de una manera u otra, nada que pudiera impulsarnos a decidir que
debía quedar incluido bajo su ámbito y qué debía excluirse.
La
extensión y reelaboración de conceptos seguramente están estructuradas y
determinadas por las fuerzas en presencia en el momento de la elección, fuerzas
que pueden ser totalmente diferentes según los individuos. El vínculo se
establece por medio de las semejanzas y diferencias percibidas entre el nuevo
objeto y los casos anteriores. La tendencia psicológica se ve coartada por un
límite de orden social. El primitivo hábito, que quizá sea el más fuerte,
entrará en conflicto con las recientes restricciones. Es fácil percibir cómo
las experiencias anteriores pueden presionar en un sentido u otro, Tampoco es
difícil apreciar que las extensiones que sufren los usos de un concepto no se
orientan según un pretendido significado real de los mismos, sino más bien por
causa de diversos factores que dependen de la experiencia pasada. El hecho de
apreciar el papel creativo de la negociación aumenta la necesidad de una
perspectiva sociológica. Este enfoque destruye el mito de que las ideas trazan
el camino que han de seguir los pensadores, descarta esa escurridiza creencia
en que el papel que juegan las ideas en la conducta de la gente excluye las
causas de tipo social, como si esos dos elementos se opusieran.
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