Los infinitésimos
A
veces se dice que una curva se compone “en realidad” de muchos pequeños
segmentos de recta; y, evidentemente, esa analogía entre una curva regular y
una colección de segmentos enlazados entre sí aumenta cuanto más pequeños y numerosos
son esos segmentos, Este tipo de intuiciones son las que dieron origen a la
idea de magnitudes infinitamente pequeñas o infinitésimos, así como a la noción
de límite. La larga historia de estas ideas culminó en el cálculo
infinitesimal.; ver las superficies y los sólidos como si estuvieran compuestos
de segmentos o rebanadas, respectivamente; este procedimiento permite captar
intelectualmente ciertas formas qie, de otro, modo no se comprenderían. (ver
figura 8 página 192)
En
los SXVI y XVII el uso de los infinitésimos llegó a hacerse habitual en el
pensamiento matemático; Cavalieri recurrió a establecer analogías entre la
manera en que puede constituirse un sólido a partir de segmentos
infinitesimales y la manera en que un libro se compone de sus páginas. Sugirió
que una superficie estaba hecha de líneas infinitesimales del mismo modo que un
tejido se hace con hilos finísimos. Un uso particularmente atrevido de los
infinitésimos fuel el que hizo Wallis para encontrar un triángulo compuesto de
minúsculos paralelogramos cuyo grosos es “apenas el de una línea”. El área de
cada paralelogramo es prácticamente igual a su base por su altura (ver figura 9
página 193). El área total es evidentemente la suma de las áreas de todos los
paralelogramos. Wallis sabía que la suma de los términos de una progresión
aritmética es el producto del número de términos por su valor medio, y no vio
razón alguna por la que dejar de aplicar este modelo de inferencia a esa
sucesión infinita de segmentos infinitesimales (ver fórmulas página 193).
Algunos pensadores como Cavalieri, eran escépticos sobre la realidad de los
infinitésimos; otros, como Galileo, desarrollaron largos argumentos filosóficos
en su favor.
Para
los matemáticos modernos los términos en los que Wallis hace sus cálculos no
tienen ningún significado preciso. Los historiadores no han dejado de reconocer
lo valioso que fue ese relajamiento del rigor, pues permitió por primera vez
que ese tipo de expresiones figurara en los cálculos. El griego Arquímedes
también vio la utilidad de imaginar que las figuras planas se cotaran en
rodajas, y usó esta idea, junto con otras metáforas más mecánicas todavía, para
facilitar la intuición matemática de algunas formas y figuras difíciles de
tratar.
Arquímedes
esboza las líneas maestras de este “método de teoremas mecánicos” en una carta
en la que subraya que él no prueba ni demuestra realmente los teoremas que
propone. Una verdadera demostración es una demostración geométrica, y no una
que se base en metáforas de formas que se cortan en rodajas o se equilibran
entre sí. Tales demostraciones geométricas satisfacían la exigencias de no
utilizar infinitos actuales. Es interesante señalar que los matemáticos
renacentistas no conocían el método empleado por Arquímedes.
El
gran énfasis en el rigor que marcó las matemáticas del SXIX reinstauró la
prohibición sobre los infinitos actuales y los infinitésimos que ya había
dominado en Grecia pero que se había desvanecido en el SXVI.
Estas
oscilaciones hacen pensar que en las matemáticas podría haber dos factores o
procesos diferentes que se encuentran en tensión entre sí o que, al menos, se
mezclan en distintas proporciones. Bajo las matemáticas que hoy asociamos con
el cálculo infinitesimal ha habido una constante intuición de que las curvas
regulares, las figuras planas o los sólidos pueden verse como si estuvieran
realmente constituidos por cortes; se trata de un modelo o metáfora que a
menudo atrae a la gente cuando piensa en estas cuestiones. Por supuesto, las
matemáticas no son los mismo que el pensamiento intuitivo; siempre se han
impuesto normas de demostración y de lógica.
El
inconveniente fue la confusión y la divergencia de opiniones; hubo más espacio
para las creencias personales y las desviaciones creativas, pero la certeza quedó
amenazada ante la proliferación incontrolada de desacuerdos, anomalías y
singularidades. Las operaciones básicas del cálculo y la intuición de
similitudes, modelos y metáforas pueden considerarse como los aspectos
empíricos o experimentales de las matemáticas, correspondiéndose con los datos
aportados por la experiencia y los experimentos en las ciencias naturales. No
parece haber razones, por tanto, para tratar a las matemáticas de manera
distinta a las ciencias empíricas.
Conclusión
Hemos
presentado una serie de casos que pueden entenderse como modos diferentes de
pensamiento matemático. Esas matemáticas diferían de las nuestras en su estilo,
sus significaciones, sus analogías y sus criterios de fundamentación. Estas
discordancias son significativas y reclaman una explicación, que bien pudiera
encontrarse en causas de tipo social. Estos ejemplo muestran que las
matemáticas se fundan en la experiencia pero en una experiencia que resulta de
seleccionar ciertos hechos según criterios mudables, una experiencia a la que
se dota de significados, conexiones y usos que también son variables. Una parte
de la experiencia sirve de modelo para tratar numerosos problemas; cómo esos
modelos se generalizan mediante analogías y metáforas.
Estas
variaciones y discordancias en el pensamiento matemático suelen ocultarse. Una
de las teorías empleadas consiste en insistir en que un determinado estilo de
pensamiento sólo merece el nombre de matemáticas en la medida en que se asemeja
al nuestro.
No
puede escribirse historia sin llevar a cabo un proceso de interpretación. Al
establecer comparaciones y contrastes, al discriminar lo valioso de lo
descartable, al separar lo significativo de lo insignificante, al tratar de
encontrar un sistema o cierta coherencia, al interpretar lo que parece oscuro o
incongruente, al cubrir las lagunas o al descartar los errores, al explicar lo
que los pensadores habrían podido o debido hacer si hubieran tenido más
información, más luces o más suerte, al hacer un comentario detallada que
reconstruya los supuestos y las creencias subyacentes…, nos es necesario para
entender nuestra historia, pero lo importante es que nos preguntemos qué normas
vamos a imponer y qué preocupaciones nos van a guiar en ese trabajo de
construir nuestro sentido del pasado.
Si
los historiadores quieren mostrar el carácter acumulativo de las matemáticas,
pueden hacerlo gracias a ese dispositivo interpretativo. En lugar de mostrar la
existencia de matemáticas alternativas, el trabajo se centrará ahora en separar
el trigo de la paja. Cajori subraya que las matemáticas son la ciencia
acumulativa por excelencia, que en ellas nada se pierde y que las
contribuciones del pasado más remoto brillan con el mismo esplendor que las
aportaciones actuales.
Esas
virtudes se ponen al servicio de una visión general progresista, y esa visión
es la que debe ponerse en entredicho. Hay discontinuidades y variaciones tanto
en el interior de las matemáticas como entre lo que es matemática y lo que no
lo es. Debemos recurrir a otras estimaciones como, por ejemplo, los mecanismos
del pensamiento lógico y matemático. De ello trataba también la discusión entre
Ferge y Mill.
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