viernes, 19 de julio de 2013

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 18



Los infinitésimos

A veces se dice que una curva se compone “en realidad” de muchos pequeños segmentos de recta; y, evidentemente, esa analogía entre una curva regular y una colección de segmentos enlazados entre sí aumenta cuanto más pequeños y numerosos son esos segmentos, Este tipo de intuiciones son las que dieron origen a la idea de magnitudes infinitamente pequeñas o infinitésimos, así como a la noción de límite. La larga historia de estas ideas culminó en el cálculo infinitesimal.; ver las superficies y los sólidos como si estuvieran compuestos de segmentos o rebanadas, respectivamente; este procedimiento permite captar intelectualmente ciertas formas qie, de otro, modo no se comprenderían. (ver figura 8 página 192)

En los SXVI y XVII el uso de los infinitésimos llegó a hacerse habitual en el pensamiento matemático; Cavalieri recurrió a establecer analogías entre la manera en que puede constituirse un sólido a partir de segmentos infinitesimales y la manera en que un libro se compone de sus páginas. Sugirió que una superficie estaba hecha de líneas infinitesimales del mismo modo que un tejido se hace con hilos finísimos. Un uso particularmente atrevido de los infinitésimos fuel el que hizo Wallis para encontrar un triángulo compuesto de minúsculos paralelogramos cuyo grosos es “apenas el de una línea”. El área de cada paralelogramo es prácticamente igual a su base por su altura (ver figura 9 página 193). El área total es evidentemente la suma de las áreas de todos los paralelogramos. Wallis sabía que la suma de los términos de una progresión aritmética es el producto del número de términos por su valor medio, y no vio razón alguna por la que dejar de aplicar este modelo de inferencia a esa sucesión infinita de segmentos infinitesimales (ver fórmulas página 193). Algunos pensadores como Cavalieri, eran escépticos sobre la realidad de los infinitésimos; otros, como Galileo, desarrollaron largos argumentos filosóficos en su favor.

Para los matemáticos modernos los términos en los que Wallis hace sus cálculos no tienen ningún significado preciso. Los historiadores no han dejado de reconocer lo valioso que fue ese relajamiento del rigor, pues permitió por primera vez que ese tipo de expresiones figurara en los cálculos. El griego Arquímedes también vio la utilidad de imaginar que las figuras planas se cotaran en rodajas, y usó esta idea, junto con otras metáforas más mecánicas todavía, para facilitar la intuición matemática de algunas formas y figuras difíciles de tratar.

Arquímedes esboza las líneas maestras de este “método de teoremas mecánicos” en una carta en la que subraya que él no prueba ni demuestra realmente los teoremas que propone. Una verdadera demostración es una demostración geométrica, y no una que se base en metáforas de formas que se cortan en rodajas o se equilibran entre sí. Tales demostraciones geométricas satisfacían la exigencias de no utilizar infinitos actuales. Es interesante señalar que los matemáticos renacentistas no conocían el método empleado por Arquímedes.

El gran énfasis en el rigor que marcó las matemáticas del SXIX reinstauró la prohibición sobre los infinitos actuales y los infinitésimos que ya había dominado en Grecia pero que se había desvanecido en el SXVI.

Estas oscilaciones hacen pensar que en las matemáticas podría haber dos factores o procesos diferentes que se encuentran en tensión entre sí o que, al menos, se mezclan en distintas proporciones. Bajo las matemáticas que hoy asociamos con el cálculo infinitesimal ha habido una constante intuición de que las curvas regulares, las figuras planas o los sólidos pueden verse como si estuvieran realmente constituidos por cortes; se trata de un modelo o metáfora que a menudo atrae a la gente cuando piensa en estas cuestiones. Por supuesto, las matemáticas no son los mismo que el pensamiento intuitivo; siempre se han impuesto normas de demostración y de lógica.

El inconveniente fue la confusión y la divergencia de opiniones; hubo más espacio para las creencias personales y las desviaciones creativas, pero la certeza quedó amenazada ante la proliferación incontrolada de desacuerdos, anomalías y singularidades. Las operaciones básicas del cálculo y la intuición de similitudes, modelos y metáforas pueden considerarse como los aspectos empíricos o experimentales de las matemáticas, correspondiéndose con los datos aportados por la experiencia y los experimentos en las ciencias naturales. No parece haber razones, por tanto, para tratar a las matemáticas de manera distinta a las ciencias empíricas.

Conclusión

Hemos presentado una serie de casos que pueden entenderse como modos diferentes de pensamiento matemático. Esas matemáticas diferían de las nuestras en su estilo, sus significaciones, sus analogías y sus criterios de fundamentación. Estas discordancias son significativas y reclaman una explicación, que bien pudiera encontrarse en causas de tipo social. Estos ejemplo muestran que las matemáticas se fundan en la experiencia pero en una experiencia que resulta de seleccionar ciertos hechos según criterios mudables, una experiencia a la que se dota de significados, conexiones y usos que también son variables. Una parte de la experiencia sirve de modelo para tratar numerosos problemas; cómo esos modelos se generalizan mediante analogías y metáforas.

Estas variaciones y discordancias en el pensamiento matemático suelen ocultarse. Una de las teorías empleadas consiste en insistir en que un determinado estilo de pensamiento sólo merece el nombre de matemáticas en la medida en que se asemeja al nuestro.

No puede escribirse historia sin llevar a cabo un proceso de interpretación. Al establecer comparaciones y contrastes, al discriminar lo valioso de lo descartable, al separar lo significativo de lo insignificante, al tratar de encontrar un sistema o cierta coherencia, al interpretar lo que parece oscuro o incongruente, al cubrir las lagunas o al descartar los errores, al explicar lo que los pensadores habrían podido o debido hacer si hubieran tenido más información, más luces o más suerte, al hacer un comentario detallada que reconstruya los supuestos y las creencias subyacentes…, nos es necesario para entender nuestra historia, pero lo importante es que nos preguntemos qué normas vamos a imponer y qué preocupaciones nos van a guiar en ese trabajo de construir nuestro sentido del pasado.

Si los historiadores quieren mostrar el carácter acumulativo de las matemáticas, pueden hacerlo gracias a ese dispositivo interpretativo. En lugar de mostrar la existencia de matemáticas alternativas, el trabajo se centrará ahora en separar el trigo de la paja. Cajori subraya que las matemáticas son la ciencia acumulativa por excelencia, que en ellas nada se pierde y que las contribuciones del pasado más remoto brillan con el mismo esplendor que las aportaciones actuales.

Esas virtudes se ponen al servicio de una visión general progresista, y esa visión es la que debe ponerse en entredicho. Hay discontinuidades y variaciones tanto en el interior de las matemáticas como entre lo que es matemática y lo que no lo es. Debemos recurrir a otras estimaciones como, por ejemplo, los mecanismos del pensamiento lógico y matemático. De ello trataba también la discusión entre Ferge y Mill.