La teoría de Mill modificada por
factores sociológicos
¿De
qué son números los números?, Mill dice: “evidentemente, de alguna propiedad
que pertenece a los agregados de cosas, y esa propiedad es el modo
característico en que el agregado está constituido por ellas y mediante el cual
puede ser dividido en partes”. Mill debe estar reaccionando inconscientemente a
las mismas presiones que llevaron a Frege a insistir en que los números no son
inherentes a los objetos, sin más, sino que dependen del modo en que se mire a esos objetos. La idea que Mill presupone
involuntariamente es, por tanto, que no todas las distribuciones, ordenaciones
o clasificaciones de objetos son relevantes como experiencias paradigmáticas en
matemáticas. Entre los innumerables juegos a los que puede jugarse con
guijarros, sólo los que siguen ciertos modelos o pautas alcanzarán esa
categoría especial que son los modos característicos de disponer y organizar
los guijarros. Exactamente igual, no todos los innumerables modelos o pautas
posibles con los que puede tejerse una alfombra serán igual de significativos
para un grupo dado de tejedores tradicionales.
El
punto al que Frege dirige su ataque es precisamente ése en el que la teoría de
Mill deja atisbar que está necesitada de un componente sociológico para poner
orden en la multitud de maneras de experimentar las propiedades de los objetos.
El lenguaje de Mill pone de manifiesto que, de hecho, está reaccionando ante
esa componente social, pero la deja escapar; y es justo esa laguna la que deja
su teoría expuesta a las objeciones de Frege. La idea fundamental de Frege es
que la teoría de Mills sólo se refiere a los aspectos meramente físicos de las
situaciones que considera, que no acierta a captar lo que en cada situación hay
de específicamente matemático. Esa componente ausente podemos ahora detectarla
en el ámbito de lo típico, de los convencional, en todo aquello que hace que se
les conceda a ciertos modelos el rango de características.
Una
teoría que intente fundamentar las matemáticas en los objetos como tales, y no
capte que hay ciertos modelos que resultan seleccionados y dotados de una
categoría especial, ofrecería graves deficiencias pese a los prometedores que
pudieran ser sus planteamientos. De entre todos los comportamientos posibles,
sólo juegan el papel de modelos aquellos que siguen pautas fijadas o
ritualizadas socialmente.
Frege
se pregunta qué experiencia o hecho físico es el que puede corresponder a los
números muy grandes o incluso a los números 0 y 1. Y si los números son
propiedades de objetos externos, ¿Cómo podemos hablar razonablemente de tres
ideas o de tres emociones, que son evidentemente objetos externos?
Lo
que Frege dice del número 1 es que tener la simple experiencia de una cosa no
es lo mismo que encontrar el número uno, y de ahí que en un caso se use el
artículo indefinido mientras que en el otro se usa el artículo definido. Se
trata de algo a lo que se mira de un modo especial y con una propósito
especial, el propósito ritualizado de contar. El número 1 no corresponde a una
cosa sino a todo lo que se contemple como elemento de un patrón o modelo característico.
El número es el papel o la función, y no debe confundirse con uno u otro objeto
que venga indiferentes a jugar ese papel o cumplir esa función.
¿Y
cuál es la experiencia asociada al
cero? Frege insiste triunfalmente en que nadie ha tenido la experiencia de cero
guijarros. Y todos los números, incluido el cero, tienen el mismo rango y del
cero no tenemos ninguna experiencia, Frege concluye que tampoco la experiencia
juega el menor papel en nuestro conocimiento de cualesquiera otros números.
La
idea de que los números tienen el mismo rango que los papeles y las
instituciones sociales acaso sea aún más sugerente en el caso del cero que en
los de los demás números. Por exigencias de homogeneidad, si el cero es un
artefacto convencional deben serlo también los restantes números.
Ahora
viene la cuestión de los números muy grandes. No podemos tener experiencia de
cómo repartir un millón de objetos del mismo modo que podemos hacerlo con cinco
o diez. Hay dos opciones generales para explicar el hecho de que la experiencia
y la aritmética se solapen sólo parcialmente. Puede interpretarse como Frege lo
hace, en cuyo caso la débil conexión y correspondencia entre aritmética y
experiencia es meramente fortuita; o bien puede utilizarse para dotar a esa débil
conexión de una importancia máxima e intentar mostrar entonces cómo puede
deducirse todo a partir de ella. Eso es lo que hace Mill.
El
caso de la aritmética de los grandes números habrá de poder derivarse de
aquellos otros que sí estén directamente relacionados con situaciones
empíricas. Podemos dar cuenta de la aritmética basándonos en experiencias a
pequeña escala, puesto que esta experiencia aporta modelos, procedimientos y
técnicas susceptibles de aplicarse y extenderse indefinidamente. No hay ninguna
incompatibilidad entre la teoría de Mill y una aritmética que funcione en
ámbitos que no puedan ejemplificarse directamente en nuestra experiencia.
Frege
se pregunta cómo, a partir de la teoría de Mill, pueden numerarse cosas
inmateriales, como cuando decimos que los celos, la envidia y la codicia son
tres emociones diferentes. Se debe enfocar una vez más el modo en que las
situaciones empíricas pueden actuar como modelos. Estas situaciones deben ser
tales que siempre se pueda asociarlas con todos los casos en que se aplica la
aritmética. La razón de que puede hablarse de tres ideas debe residir, según
esta teoría, en nuestra capacidad y habilidad para hablar de ideas como si de
objetos se tratara. Nuestra aritmética sólo será aplicable en la medida en que
estemos dispuestos a usar la metáfora del objeto.
¿utilizamos
realmente a los objetos como modelos o metáforas cuando pensamos en fenómenos
psíquicos? Como los fenómenos mentales son tan diferentes de los objetos
físicos, sólo una fuerte determinación y una acusada tendencia a pensar en
términos metafóricos puede aproximarlos.
Poincaré
habla de sus ideas como si fueran moléculas de la teoría cinética de gases,
agitándose en todas direcciones, colisionando e incluso fundiéndose entre
ellas. Al adoptar la metáfora del atomismo, Poincaré está siguiendo una larga
tradición de atomismo psicológico; pero la cuestión no es si esa tradición está
o no equivocada sino que, equivocada o acertada, esa tendencia a usar la
metáfora del objeto es algo asentado. Y puede valer para explicar lo que Frege
pensó que nunca podrá explicar la teoría de Mill, a saber, la aplicación del
número a las ideas, así como el mecanismo de su aplicabilidad en general.
¿Cómo
pueden aplicarse los números a los estados mentales? El gran logro de la
psicofísica del SXIX fue encontrar modos de comprender matemáticamente ciertos
procesos mentales y, en particular, formular la ley de Weber-Fechner; la
intensidad de una sensación es proporcional al logaritmo del estímulo. El paso
crucial que permitió esa formulación fue encontrar un modo de segmentar los
procesos mentales tal que los segmentos obtenidos pudieran contarse, pues
entonces podía ya recurrirse al formidable aparato de la aritmética y el
cálculo para obtener la formulación matemática de la ley. La estratagema
utilizada para obtener unidades segmentadas y numerables fue introducir la
noción de “diferencia precisa perceptible”: se incrementaba gradualmente cierto
tono o peso hasta que el sujeto podía percibir el cambio. Se encontró que la
medida de esta diferencia precisa perceptible era proporcional a la medida del
estímulo. Según la teoría aritmética de Mill, este proceso de segmentación no
es sino el medio de establecer la analogía entre la sensación subjetiva y el
objeto, de manera que se puedan aplicar los procedimientos matemáticos
habituales; es un modo de proyectar los estados psíquicos sobre objetos
numerables y extender así la metáfora del objeto discreto.
Si
esta argumentación es correcta, puede decirse que el ámbito de la aritmética es
el ámbito de la metáfora del objeto material. En la medida en que podmaos ver
algo como objetos a los que aplicar imaginariamente las operaciones de
ordenamiento y clasificación podremos, asimismo, aplicar a ese algo las
operaciones aritméticas de contar y numerar. El lazo o transición que hay entre
aritmética y mundo es el lazo de una identificación metafórica entre entidades
inicialmente desiguales. El comportamiento de los objetos simples, que está en
la base de la aritmética, sirve como teoría para explicar el comportamiento de
otros procesos y, como en la aplicación de cualquier teoría, el problema ya no
es sino el de aprender a mirar las nuevas situaciones como casos de ejemplos ya
conocidos o más familiares. La tendencia de Frege a mirar los objetos
aritméticamente como algo puro y separado de los objetos materiales crea un
abismo entre las matemáticas y el mundo. Con la teoría de Mill no es necesario
lanzar arriesgados puentes entre territorios diferentes, pues nace del mundo y
crece a partir de su modesto origen empírico.
Resumen y conclusión
La
lógica de Mill aporta la idea fundamental de que las situaciones físicas sirven
de modelos para los pasos que se dan en el razonamiento matemático. Las
objeciones de Frege hacen ver cuál es ese ingrediente ausente: la teoría de
Mill no hace justicia a la objetividad del conocimiento matemático, no da
cuenta de la naturaleza ineluctable de sus deducciones, no explica por qué las
conclusiones matemáticas dan esa sensación de no poder ser distintas de las que
son. Aún somos libres de imaginar que los objetos podrían comportarse de modo
distinto al que lo hacen, lo cual no nos es posible respecto de las
matemáticas. El componente psicológico aporta el contenido de las ideas
matemáticas y el componente sociológico explica cómo se lleva a cabo la
selección entre distintos modelos físicos y cómo se dota de un aura de
autoridad al modelo seleccionado. Gracias al recurso a los conceptos de modelo
y metáfora, nos ha sido también posible contestar sus objeciones sobre los
grandes números y sobre el amplio campo al que se aplica la aritmética.
El
problema menor se refiere a la sensación antes apuntada de que hace falta
cierta Realidad para dar cuenta de las matemáticas. Parte de esa realidad la
forma el mundo de los objetos físicos y, otra parte, la sociedad. Pero si las
matemáticas versan sobre el número y sus relaciones y si éstos son creaciones y
convenciones sociales, entonces las matemáticas tratan, de hecho, sobre algo
social. Puede decirse que tratan de la sociedad, que tratan de la sociedad en
el mismo sentido en que Durkheim dice que la religión trata de la sociedad. La
conexión y el modo de participación implicados siempre quedan tan sólo
insinuados y nunca se explicitan, así cuando Frege habla vagamente, no de que
los números sean conceptos, sino de “descubrir los números en los conceptos” o
de la “transparencia” de los conceptos puros del intelecto. Mi teoría podría
sostenerse razonablemente si consigue comprender algunos de los hechos más
sobresalientes y sugerir líneas claras de desarrollo.
El
problema más importante concierne a la unicidad de las matemáticas, y apenas
hemos dicho nada sobre ello; no cabe la menor duda de que, según nuestra
teoría, la creencia en que la matemática es única tiene exactamente el mismo
rango que la creencia en que sólo hay una verdad moral.
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