jueves, 18 de julio de 2013

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 17


El número pitagórico y platónico

Los griegos usaban el cálculo por motivos prácticos en la plaza del mercado, pero distinguían radicalmente este uso del número de la elevada contemplación de sus propiedades. Distinción que se corresponde con la discriminación que hacían entre logística y aritmética, o entre una aritmética práctica y otra teórica; se corresponde a su vez con una discriminación social. Para Platón, son los amantes de la sabiduría, los filósofos, quienes deben gobernar en una sociedad bien ordenada.

La contemplación teórica del número comprendía una de sus propiedades, llamada eidos. Klein explica que este término hace referencia ala “especie” o el “tipo” del número, o más literalmente a su “forma”, “figura” o “aspecto”. Hay que recordar que el número griego es únicamente número de cosas, y los números de cosas siempre pueden representarse como números de puntos. Estos puntos pueden disponerse a menudo formando figuras características, como cuadrados, triángulos o rectángulos, de modo que resulta natural hablar de números cuadrados, números triangulares o números rectangulares u oblongos (ver figuras página 184).

Una vez que los números se han clasificado así en categorías, pueden estudiarse las propiedades en términos de formas o eidos. Los griegos usaban un artificio llamado gnomon, que era un número figurado que, al añadirse a alguna de las figuras anteriores, no alteraba su configuración general.

Lo primero que salta a la vista en este enfoque de la aritmética es lo bien que encaja en el análisis de Mill. Se trata de un caso histórico en el que el conocimiento de los números se lleva a cabo observado objetos sometidos a operaciones simples de ordenamiento y clasificación.

La segunda observación se refiere a lo que esta aritmética tiene de particular, y no a lo que en ella hay de universal. Resalta cómo cristaliza cierto elemento de la experiencia (el gnomon) para convertirse en una herramienta especializada de investigación. Las matemáticas modernas y la teoría de números también muestran cierto interés por los tipos de números, pero no se parecen en nada a ese enfoque clasificatorio de los pitagóricos y los platónicos posteriores, En ellos, la aritmética a veces toma el aspecto de una historia natural de los tipos y de las especies y subespecies de las formas de los números.

¿Qué interés puede tener esta aritmética teórica?: los pensadores de la época fundaban sobre ella todo un sistema de clasificación en el que se representaban simbólicamente la sociedad, la vida y la naturaleza: en el orden y la jerarquía que se manifiestan en esa aritmética ven ellos condensados tanto la unidad del cosmos como las aspiraciones y el papel que en él juega el hombre. Los distintos tipos de números significan instancias como la Justicia, La Armonía o lo Divino.

Los modos de correspondencia entre matemáticas y mundo natural se manifiestan, en su nivel más simple, en la correlación que establece los pitagóricos y neoplatónicos entre propiedades sociales, naturales y numéricas. Su célebre Tabla de los Opuestos ilustra esa distribución de categorías:


Indefinido Definido
Múltiple Uno
Izquierdo Derecho
Femenino Masculino
Oscuro Claro
Malo Bueno
Par Impar
Móvil Estático
Oblongo Cuadrado

Pero el número no sólo simboliza las fuerzas cósmicas sino que se supone que posee una eficacia divina o que participa de ella en alguna manera, de modo que el conocimiento del número era un medio de situarse mentalmente en ciertos estados superiores de fuerza moral y de gracia.

Stevin era un representante de las auténticas matemáticas mientras que sus adversarios eran más bien anti-matemáticos; el suyo no era otro modo de hacer matemáticas sino un modo de no hacerlas en absoluto. Si no concedemos al misticismo numerológico rango de matemáticas, ni siquiera puede plantearse la cuestión de si se trata o no de otra matemática. Y si lo que hacemos es dividir los casos históricos en dos categorías, una que incorpora los componentes genuinamente matemáticos y otra que no merece llamarse matemáticas.

Lo que se opone a una sociología de las matemáticas es esa idea de que las matemáticas gozan de vida y significado propios, esto es, suponer que sus símbolos encierran en sí mismos unas significaciones intrínsecas que están ahí aguardando simplemente a ser percibidas o comprendidas.

La metafísica de la raíz de dos

Hoy se da por supuesto que la raíz de dos es un número, a saber, el número que, al multiplicarse por sí mismo, da como producto el número 2. Habitualmente se dice que es un número irracional, denominación heredada de una época en que había un notable interés sobre cuál era si condición. El problema está en que no hay ninguna fracción p/q que sea igual a la raíz de dos. (Ver fórmulas página 188).

Para nosotros, si no es racional es que es irracional, pero para los griegos no era así. Para ellos, lo que se ha demostrado con lo anterior es que la raíz de dos no es un número en absoluto, Por más que la raíz de dos no fuera un número, sí correspondía, sin embrago, a una longitud geométrica bien definida: por ejemplo, la de la hipotenusa de una triángulo rectángulo cuyos lados tuvieran de longitud la unidad. Esto nos da una idea del abismo que separaba la geometría de la aritmética.

¿Demuestra que la raíz de dos no es un número o que es un número irracional? Es evidente que lo que demuestra depende del marco de presupuestos sobre el número en cuyo interior se consideran los cálculos. Si por número se entiende básicamente el número destinado a contar, una colección de puntos, entonces el cálculo significa algo muy distinto que si el número se asocia intuitivamente con la imagen de un segmento de una línea continua.

Imaginemos una cultura donde la gente haya aprendido muchas cosas importantes sobre aritmética pero apenas haya concedido importancia a las categorías de lo par e impar, que las utilicen en sus cálculos pero que no supusieran para ellos un auténtico criterio de demarcación; una cultura que nunca hubiera soñado con erigir una Tabla de los Opuestos como la de los pitagóricos ni, mucho menos, con entrelazar lo par y lo impar con otras dicotomías cósmicas.  Después de todo, la noche se funde con el día, lo bueno con lo malo y lo blanco con lo negro. Un cálculo como el anterior podría allí entenderse, del modo más rotundo y natural, como una demostración de que los números pueden ser simultáneamente pares e impares, lo que además vendría a confirmar su creencia en que no es nada realista trazar fronteras rígidas.

Estas condiciones son de orden social, en el sentido de que residen en el sistema de clasificaciones y significaciones que una cultura sustenta de forma colectiva. Son condiciones que pueden variar y, en la medida en que lo hagan, variará también el significado de los objetos matemáticos.

Si el sentido particular de una cálculo depende del conjunto de presupuestos compartidos, su influencia general es aún más contingente. Al descubrimiento de las magnitudes irracionales se le llama habitualmente la “crisi de los irracionales” en la matemática griega, y se trataba efectivamente de una crisis porque la separación entre magnitud y número que el descubrimiento evocaba en los griegos se oponía a su anterior hábito de imaginar las líneas y las formas compuestas por puntos. Quizá un Roberval griego prematuro  hubiera evitado la crisis de los irracionales, pero lo que sí es cierto es que el teorema sobre la raíz cuadrada de dos no impidió a Roberval desarrollar sus trabajos.