El número pitagórico y
Los
griegos usaban el cálculo por motivos prácticos en la plaza del mercado, pero
distinguían radicalmente este uso del número de la elevada contemplación de sus
propiedades. Distinción que se corresponde con la discriminación que hacían
entre logística y aritmética, o entre una aritmética práctica y otra teórica;
se corresponde a su vez con una discriminación social. Para Platón, son los
amantes de la sabiduría, los filósofos, quienes deben gobernar en una sociedad
bien ordenada.
La
contemplación teórica del número comprendía una de sus propiedades, llamada eidos. Klein explica que este término
hace referencia ala “especie” o el “tipo” del número, o más literalmente a su
“forma”, “figura” o “aspecto”. Hay que recordar que el número griego es
únicamente número de cosas, y los números de cosas siempre pueden representarse
como números de puntos. Estos puntos pueden disponerse a menudo formando
figuras características, como cuadrados, triángulos o rectángulos, de modo que
resulta natural hablar de números cuadrados, números triangulares o números
rectangulares u oblongos (ver figuras página 184).
Una
vez que los números se han clasificado así en categorías, pueden estudiarse las
propiedades en términos de formas o eidos.
Los griegos usaban un artificio llamado gnomon,
que era un número figurado que, al añadirse a alguna de las figuras anteriores,
no alteraba su configuración general.
Lo
primero que salta a la vista en este enfoque de la aritmética es lo bien que
encaja en el análisis de Mill. Se trata de un caso histórico en el que el
conocimiento de los números se lleva a cabo observado objetos sometidos a
operaciones simples de ordenamiento y clasificación.
La
segunda observación se refiere a lo que esta aritmética tiene de particular, y
no a lo que en ella hay de universal. Resalta cómo cristaliza cierto elemento
de la experiencia (el gnomon) para
convertirse en una herramienta especializada de investigación. Las matemáticas
modernas y la teoría de números también muestran cierto interés por los tipos
de números, pero no se parecen en nada a ese enfoque clasificatorio de los
pitagóricos y los platónicos posteriores, En ellos, la aritmética a veces toma
el aspecto de una historia natural de los tipos y de las especies y subespecies
de las formas de los números.
¿Qué
interés puede tener esta aritmética teórica?: los pensadores de la época
fundaban sobre ella todo un sistema de clasificación en el que se representaban
simbólicamente la sociedad, la vida y la naturaleza: en el orden y la jerarquía
que se manifiestan en esa aritmética ven ellos condensados tanto la unidad del
cosmos como las aspiraciones y el papel que en él juega el hombre. Los
distintos tipos de números significan instancias como la Justicia, La Armonía o
lo Divino.
Los
modos de correspondencia entre matemáticas y mundo natural se manifiestan, en su
nivel más simple, en la correlación que establece los pitagóricos y
neoplatónicos entre propiedades sociales, naturales y numéricas. Su célebre
Tabla de los Opuestos ilustra esa distribución de categorías:
Indefinido Definido
Múltiple Uno
Izquierdo Derecho
Femenino Masculino
Oscuro Claro
Malo Bueno
Par Impar
Móvil Estático
Oblongo Cuadrado
Pero
el número no sólo simboliza las fuerzas cósmicas sino que se supone que posee
una eficacia divina o que participa de ella en alguna manera, de modo que el
conocimiento del número era un medio de situarse mentalmente en ciertos estados
superiores de fuerza moral y de gracia.
Stevin
era un representante de las auténticas matemáticas mientras que sus adversarios
eran más bien anti-matemáticos; el suyo no era otro modo de hacer matemáticas
sino un modo de no hacerlas en absoluto. Si no concedemos al misticismo
numerológico rango de matemáticas, ni siquiera puede plantearse la cuestión de
si se trata o no de otra matemática. Y si lo que hacemos es dividir los casos
históricos en dos categorías, una que incorpora los componentes genuinamente
matemáticos y otra que no merece llamarse matemáticas.
Lo
que se opone a una sociología de las matemáticas es esa idea de que las
matemáticas gozan de vida y significado propios, esto es, suponer que sus
símbolos encierran en sí mismos unas significaciones intrínsecas que están ahí
aguardando simplemente a ser percibidas o comprendidas.
La metafísica de la raíz de dos
Hoy
se da por supuesto que la raíz de dos es un número, a saber, el número que, al
multiplicarse por sí mismo, da como producto el número 2. Habitualmente se dice
que es un número irracional, denominación heredada de una época en que había un
notable interés sobre cuál era si condición. El problema está en que no hay
ninguna fracción p/q que sea igual a
la raíz de dos. (Ver fórmulas página 188).
Para
nosotros, si no es racional es que es irracional, pero para los griegos no era
así. Para ellos, lo que se ha demostrado con lo anterior es que la raíz de dos
no es un número en absoluto, Por más que la raíz de dos no fuera un número, sí
correspondía, sin embrago, a una longitud geométrica bien definida: por
ejemplo, la de la hipotenusa de una triángulo rectángulo cuyos lados tuvieran
de longitud la unidad. Esto nos da una idea del abismo que separaba la
geometría de la aritmética.
¿Demuestra
que la raíz de dos no es un número o que es un número irracional? Es evidente
que lo que demuestra depende del marco de presupuestos sobre el número en cuyo
interior se consideran los cálculos. Si por número se entiende básicamente el
número destinado a contar, una colección de puntos, entonces el cálculo
significa algo muy distinto que si el número se asocia intuitivamente con la
imagen de un segmento de una línea continua.
Imaginemos
una cultura donde la gente haya aprendido muchas cosas importantes sobre
aritmética pero apenas haya concedido importancia a las categorías de lo par e
impar, que las utilicen en sus cálculos pero que no supusieran para ellos un
auténtico criterio de demarcación; una cultura que nunca hubiera soñado con
erigir una Tabla de los Opuestos como la de los pitagóricos ni, mucho menos,
con entrelazar lo par y lo impar con otras dicotomías cósmicas. Después de todo, la noche se funde con
el día, lo bueno con lo malo y lo blanco con lo negro. Un cálculo como el
anterior podría allí entenderse, del modo más rotundo y natural, como una
demostración de que los números pueden ser simultáneamente pares e impares, lo
que además vendría a confirmar su creencia en que no es nada realista trazar
fronteras rígidas.
Estas
condiciones son de orden social, en el sentido de que residen en el sistema de
clasificaciones y significaciones que una cultura sustenta de forma colectiva.
Son condiciones que pueden variar y, en la medida en que lo hagan, variará
también el significado de los objetos matemáticos.
Si
el sentido particular de una cálculo depende del conjunto de presupuestos
compartidos, su influencia general es aún más contingente. Al descubrimiento de
las magnitudes irracionales se le llama habitualmente la “crisi de los
irracionales” en la matemática griega, y se trataba efectivamente de una crisis
porque la separación entre magnitud y número que el descubrimiento evocaba en
los griegos se oponía a su anterior hábito de imaginar las líneas y las formas
compuestas por puntos. Quizá un Roberval griego prematuro hubiera evitado la crisis de los
irracionales, pero lo que sí es cierto es que el teorema sobre la raíz cuadrada
de dos no impidió a Roberval desarrollar sus trabajos.
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