Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 23

Conclusión ¿dónde nos encontramos?

Las categorías del pensamiento filosófico forman un paisaje intelectual. Sus grandes hitos se denominan “verdad”, “objetividad”, “relativismo”, “idealismo”; “Materialismo”, etc. La ciencia es causal, teórica, neutral, a menudo reduccionista como el sentido común; se opone a la teleología, al antropomorfismo y a lo que es trascendente. La estrategia global ha sido unir las ciencias sociales lo más estrechamente posible con los métodos de otras ciencias empíricas: basta con proceder como lo hacen las otras ciencias u todo irá bien.

Al delinear el programa fuerte en sociología del conocimiento, he intentado captar lo que pienso que realmente hacen los sociólogos cuando inconscientemente adoptan la postura naturalista en su disciplina. Sólo las visiones parciales serán presa de ciertas inconsistencias. Las ideas del conocimiento se basan en representaciones sociales, que la necesidad lógica es una especie de obligación moral y que la objetividad es un fenómeno social.

Aunque que he acentuado el carácter materialista de la aproximación sociológica, el materialismo tiende aún a ser pasivo y no activo. Espero que no puede decirse que no sea totalmente dialéctico, pero sin duda representa al conocimiento como teoría más que como práctica. Parecen tener, los críticos de la sociología del conocimiento, menos recursos para enfrentarse con el problema que quienes mantienen una aproximación naturalista. La filosofía de Popper hace de la ciencia un asunto de pura teoría en vez de una técnica en la cual podemos confiar. Sólo provee una ideología para el científico más puro y deja al ingeniero y al artesano sin auxilio.

La topografía del intelectual no es moralmente neutra. La Racionalidad y la Causalidad luchan entre sí como si fueran las fuerzas del Bien y del Mal. Las respuestas prefabricadas y las evaluaciones convencionales son tan inapropiadas para la sociología del conocimiento como predecibles por ella. El relativismo es simplemente lo opuesto al absolutismo, y seguramente es preferible a él.

Es innegable que el programa fuerte en la sociología del conocimiento descansa sobre una forma de relativismo. Éste adopta lo que se puede llamar “relativismo metodológico”, una posición resumida en los requisitos de simetría y reflexividad que fueron definidos al principio. Todas las creencias deben ser explicadas de la misma manera general, al margen de cómo se evalúen.

Una forma en la que la sociología del conocimiento podría autojustificarse polémicamente en su relativismo es insistir en que no es más no menos culpable que otras concepciones del conocimiento que normalmente escapan esta acusación. La sociología del conocimiento puede formular fácilmente lo esencial de su propio punto de vista en los términos de esa filosofía. Todo conocimiento es relativo a la situación local de los pensadores que lo producen: las ideas y conjeturas que son capaces de producir, los problemas que les inquietan la interacción entre presupuestos y crítica en su medio social, sus objetivos y pretensiones, las experiencias que tienen y los patrones y significados que aplican. Tampoco se altera la situación porque al explicar la conducta y la creencia algunas veces se establezcan suposiciones sobre el mundo físico que circunda a los actores. Si Popper está en lo cierto, este conocimiento también es conjetural. La explicación entera es una conjetura, aunque sea una conjetura sobre otras conjeturas.

Un sociólogo puede asumir la insistencia de Popper en que lo que establece el conocimiento científico no es la verdad de sus conclusiones sino las reglas de procedimiento, los patrones y las convenciones que los conforman.

Considerar todo conocimiento como algo conjetural y falible es realmente la forma más extrema de relativismo filosófico. Lo que constituye la misma existencia de la ciencia es su condición de actividad en proceso; es un modelo de pensamiento y conducta, un estilo de abordar las cosas que tienen sus normas y valores característicos. Si podemos vivir con el relativismo moral, podemos vivir con el relativismo cognitivo.

La ciencia puede ser capaz de funcionar sin verdad absoluta, aunque tal verdad podría subsistir. Este sentimiento residual seguramente descansa sobre una confusión entre la verdad y el mundo material. Pero creer en un mundo material no justifica la conclusión de que exista un estado final o privilegiado de adaptación a él que constituya el conocimiento o la verdad absoluta. Como ha sostencito Kuhn con gran claridad, el progreso científico (que es bastante real) es como la evolución darwiniana. Hemos alcanzado la posición actual en el progreso y evolución de nuestro conocimiento, de igual manera que ocurre en la evolución de nuestras especies, sin faro ni meta alguna que nos guíe.

Se acusa a la sociología del conocimiento de relativismo como de subjetivismo. Si no se hubiese sostenido la existencia de la objetividad no habría habido necesidad de desarrollar una teoría para describirla. Son otras teorías de la objetividad las que quedan refutadas mediante un análisis sociológico, no el fenómeno mismo. Una teoría sociológica de la objetividad probablemente otorga a ésta un papel más prominente en la vida humana del que ellos mismos le conceden. Desde esta teoría, el conocimiento moral también puede ser objetivo. El conocimiento parece diferente al percibirse desde diferentes ángulos. Basta aproximarse a él por un camino inesperado, observarlo desde una perspectiva inusual, para que no sea reconocible a primera vista.

Me siento más que feliz cuando veo a la sociología descansando en los mismos fundamentos y supuestos que las otras ciencias, cualquiera que sea su categoría y su origen. Realmente, la sociología no tiene otra elección que la de descansar en esos fundamentos, ni tampoco ningún otro modelo más apropiado que adoptar. Pues ese fundamento es nuestra cultura misma. La ciencia es nuestra forma de conocimiento. Que la sociología del conocimiento se mantenga o sucumba junto a las otras ciencias me parece muy deseable como destino y altamente probable como predicción.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 22

La negociación de una demostración en matemáticas

Euler: cuando se toma un sólido (como un cubo o una pirámide) y se cuentan el número de esquinas o vértices (V), el de aristas (a) y el de caras (C), resulta que satisfacen la fórmula: V - A + C = 2 (Ver figura 12 página 219). A las figuras de este tipo se les llama poliedros y sus caras son polígonos. Euler pensó que su fórmula era válida para todos los poliedros. Hoy no se concedería el honor de llamar teoremas a una resultado así obtenido, todo lo más se le atribuiría una certeza inductiva o moral. Un auténtico teorema debe seguirse de una prueba o demostración.

Cualquier análisis naturalista de las matemáticas debe dar cuenta de la naturaleza de la demostración y del tipo de certeza que entraña. Cauchy propuso una idea ingeniosa que parecía demostrar el teorema de Euler; se centraba en una “experimento mental” con los poliedros. (Ver figura 13 página 220). La clave de la demostración está en mostrar que la propiedad señalada por Euler es una consecuencia natural del hecho que un triángulo tenga 3 vértices, 3 aristas y, por supuesto, 1 cara. El experimento mental original no era sino una manera de poder visualizar los poliedros como construidos por triángulos; visión que se obtiene al extenderlos sobre un plano y someterlos al proceso de triangulación.

Quizá no quepa duda de que algunos poliedros se ajustan a la fórmula de Euler, pero sí la hay de que el razonamiento de Cauchy explique por qué es así. Como señala Lakatos, Cauchy no se dio cuenta de que la supresión de triángulos que se tocan entre sí debía hacerse con mucho cuidado para que la fórmula pudiera seguir manteniéndose.

Lhuilier y Hessel encontraron cada uno una excepción al teorema de Euler y a la demostración de Cauchy. En la figura 15 (página 223) se muestra un cubo encajado en otro, pudiendo considerarse que el cubo interior perfila un hueco dentro del grande. Una inspección directa del número de caras, aristas y vértices muestra que no satisface el teorema; y tampoco se presta al experimento mental de Cauchy, pues al suprimir una cara de cualquiera de ambos cubos no se puede extender sobre el plano la figura resultante. Si se supone que las demostraciones establecen de una vez por todas la verdad de una proposición, entonces algo debe de andar mal con el contraejemplo. Quizá esta definición esté mal hecha y lo que hubiera debido entenderse por poliedro fuera una superficie, y no un sólido, con caras poligonales. (ver figura 16 página 223).

Moëbius ya había dado una definición de poliedro que hubiera eliminado este contraejemplo: un poliedro, definió, es un sistema de polígonos tal que dos polígonos comparten una arista y en él siempre se puede pasar de una cara a otra sin pasar por un vértice. Aunque la reelaboración que hace Moëbius del significado de poliedro excluye los ejemplos de Hessel, aún quedan otros que burlan sus defensas, como el de la figura 17 (página 224), que satisface la definición de Moebius pero no se somete a la demostración de Cauchy pues no puede aplanarse.

(Ver figura 18, página 224) Todo este proceso se debe a que el teorema empezó siendo una generalización inductiva. Se propone una demostración y es el mismo hecho de intentar probar que es correcta el que expone la generalización a todo tipo de críticas. Los contraejemplos revelan que nos estaba claro lo que era un poliedro y se tiene que decidir cuál es el significado del término “poliedro”, que había quedado indeterminado en la zona de sombra proyectada por los contraejemplos. Entonces la demostración y el propio alcance del teorema ya pueden consolidarse gracias a la creación de una elaborada estructura de definiciones, que  tienen su origen en el conflicto que había surgido entre la demostración y los contrajemplos.

Lakatos nos recuerda lo que el consejo de Lord Mansfield pasa por alto: que la idea que orienta una demostración es un recurso valioso. Cumple un papel parecido al de los modelos físicos de Mill: delimita el intento de comprensión de un asunto a la luz de cierto modelo, que utiliza para establecer conexiones y analogías. Hay dos formas principales por las que la idea que rige una demostración funciona como un recurso:

1.    Permite anticipar contraejemplos o crearlos.

2.    Lo mismo si vale para demostrar el teorema como si no, la idea que se ensayó en la demostración sigue existiendo y podrá usarse como guía para trabajos posteriores.

Lakatos pretende mostrar con su ejemplo que las matemáticas, como las demás ciencias, proceden por conjeturas y refutaciones. Manifiesta que quiere, como también el sociólogo, disipar ese aura de perfección estática e inexorable unidad que las rodea. Si hay un enfoque popperiano de las matemáticas, incorporará las críticas, los desacuerdos y el cambio; y cuanto más radicales, mejor. Desde esta perspectiva, en las matemáticas no hay esencias lógicas últimas como tampoco hay últimas esencias materiales.

Lakatos concentra su atención en lo que llama “matemáticas informales”, que son los sectores de crecimiento que aún no han sido organizados como sistemas deductivos rigurosos. “Formalizar” un sector de las matemáticas significa presentar sus resultados de manera que se deriven de cierto conjunto de axiomas enunciados explícitamente. Si algo es obvio sólo se debe a que no se lo ha sometido a una crítica en profundidad. La crítica des-trivializa lo trivial y pone de manifiesto precisamente cuánto damos por supuesto en lo que nos parece evidente por sí mismo. Ninguna verdad lógica de apariencia sencilla y trivial puede aportar, por tanto, fundamento último alguno al conocimiento matemático.

Al rechazar la idea de que la auténtica naturaleza de las matemáticas descanse en los sistemas axiomáticos y formalizados, Lakatos muestra que para él, como también para Mill, lo informal tiene prioridad sobre lo formal.

Ofrecer una demostración de una proposición matemática es más bien, para Lakatos, como ofrecer una explicación teórica de un resultado empírico en las ciencias de la naturaleza; las demostraciones explican por qué una proposición, o un resultado conjetural, es cierta. Una demostración puede refutarse con contraejemplos y recuperarse después reajustados el alcance y los contenidos de las definiciones y categorizaciones. La idea que rige una demostración y es eficaz en cierto ámbito puede utilizarse otra vez de manera diferente en otro ámbito, tal como ocurre con los modelos y las metáforas en la teorización física. Al igual que las teorías, las demostraciones dotan de ciertos significados a lo que explican. Que toda regla puede reinterpretarse y toda idea puede desarrollarse de maneras nuevas. En principio, el pensamiento informal siempre puede burlar el pensamiento formal. Los periodos de cambios rápidos en matemáticas, en los que hay una crítica activa de los fundamentos, se consideran favorables; aquellos otros periodos en los que las definiciones, axiomas, resultados y demostraciones se dan por hecho aparecen como períodos de estancamiento.

Lakatos considera que los períodos de estancamiento se corresponden con las “ciencia Normal”, donde ciertos desarrollos matemáticos y ciertos estilos de razonamiento adquieren la apariencia de verdades eternas. Lo que se considera lógico es lo que se da por supuesto, En cada momento dado, las matemáticas se desarrollan según (y se basan en) lo que los matemáticos dan por supuesto: no tienen más fundamento que el social.

El rechazo de los supuestos lineales y progresistas que caracterizaron a las anteriores generaciones de historiadores de la ciencia se ha convertido hoy en un lugar común.

Los historiadores son ahora más proclives que antes a investigar la integridad de diferentes estilos de trabajo, a relacionar los datos entre sí de modo que se enmarquen en épocas más o menos delimitadas, cada una con sus propias preocupaciones, paradigmas. No deja de construirse, igual que antes, una unidad subyacente; y se siguen haciendo conjeturas sobre los pensamientos que se ocultan bajo los documentos que los matemáticos dejan tras de sí.

Si la sociología de las matemáticas consiste simplemente en esa manera de escribir la historia, los historiadores de las matemáticas pueden pretender razonablemente que la sociología del conocimiento es algo que ya están haciendo ellos. Más importante son los problemas que se quieren iluminar; son las cuestiones teóricas que el investigador consigue o no aclarar las que determinan so la historia tiene algo que decir a la sociología del conocimiento.

¿Qué problemas debe abordar la historia de las matemáticas para ayudar a la sociología del conocimiento?: debe ayudar a entender cómo y pro qué la gente piensa como realmente piensa, que debe ayudar a entender cómo se generan los pensamientos y cómo adquieren, conservan y pierden su condición de conocimientos. Debe arrojar luz sobre cómo nos comportamos, cómo funcionan nuestras cabezas y de qué naturaleza son las opiniones, las creencias y los juicios. Cómo se construyen las matemáticas a partir de componentes naturalistas: experiencias, procesos mentales, tendencias naturales, hábitos, patrones de comportamiento e instituciones. Y para ellos es necesario ir más allá de un estudio de los resultados del pensamiento: buscar tras los productos, los actos mismos de producción.

Volviendo a la discusión de Lakatos sobre el teorema de Euler: la gente no está gobernada por sus ideas y conceptos, que son los hombres quienes gobiernan a las ideas y no al revés. Las ideas se desarrollan gracias a contribuciones activas, se han construido y fabricado de manera que puedan extenderse, Esas extensiones de sus usos y significados no les son pre-existentes, no están previamente contenidas en los conceptos como en una embrión. A la hora de enfrentarse con los contraejemplos, el significado del concepto es algo que sencillamente no existía; no había nada escondido dentro del concepto que nos obligara a entenderlo de una manera u otra, nada que pudiera impulsarnos a decidir que debía quedar incluido bajo su ámbito y qué debía excluirse.

La extensión y reelaboración de conceptos seguramente están estructuradas y determinadas por las fuerzas en presencia en el momento de la elección, fuerzas que pueden ser totalmente diferentes según los individuos. El vínculo se establece por medio de las semejanzas y diferencias percibidas entre el nuevo objeto y los casos anteriores. La tendencia psicológica se ve coartada por un límite de orden social. El primitivo hábito, que quizá sea el más fuerte, entrará en conflicto con las recientes restricciones. Es fácil percibir cómo las experiencias anteriores pueden presionar en un sentido u otro, Tampoco es difícil apreciar que las extensiones que sufren los usos de un concepto no se orientan según un pretendido significado real de los mismos, sino más bien por causa de diversos factores que dependen de la experiencia pasada. El hecho de apreciar el papel creativo de la negociación aumenta la necesidad de una perspectiva sociológica. Este enfoque destruye el mito de que las ideas trazan el camino que han de seguir los pensadores, descarta esa escurridiza creencia en que el papel que juegan las ideas en la conducta de la gente excluye las causas de tipo social, como si esos dos elementos se opusieran.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 21

La lógica azande y la ciencia occidental

El libro de Evans-Pritchard sobre los azande describe una sociedad que es profundamente diferente de la nuestra; un azande nunca hace algo de cierta importancia sin consultar al oráculo. Para los azande, toda calamidad humana se debe a la brujería, las brujas o brujos son personas cuya mala voluntad y poderes maléficos son la causa de las desgracias. Un brujo transmitiría la sustancia brujesca a todos sus hijos y una bruja a todas sus hijas.

Parece así una inferencia lógica clara que basta con tener un único caso de brujería, que fuera decisivo e incontestable, para establecer que toda una rama de parientes ha estado integrada con brujos. De igual manera, la decisión de que un hombre no es brujo debería bastar para exonerar a todos sus parientes. Pues bien, los azande no actúan de acuerdo con estas inferencias.

En teoría, todo el clan al que pertenece un brujo debería estar compuesto por brujos. En la práctica, sólo se consideran brujos a los parientes paternos próximos de un brujo conocido. ¿A qué se debe esto?

Evans-Piritchard lo explica señalando que los azande dan prioridad a los ejemplos específicos y concretos de brujería sobre los principios abstractos y generales. Éstos nunca preguntan a un oráculo la cuestión general de si tal cual persona es un brujo. Lo que preguntan es si tal o cual persona está embrujada aquí y ahora. Así, los azande no perciben la contradicción tal como la percibimos nosotros porque no tienen ningún interés teórico en el tema, y las situaciones en las que expresan sus creencias en la brujería no les llevan a plantearse el problema.

Este análisis conlleva claramente dos ideas centrales:

1.    Existe realmente una contradicción en la manera azande de ver las cosas, la perciban ellos o no; los azande han institucionalizado un error lógico, o al menos un cierto grado de ceguera lógica.

2.    En caso de que los azande percibieran el error, una de sus principales instituciones sociales se volvería insostenible, pues quedaría amenazada de ser contradictoria o lógicamente defectuosa y, por tanto, su supervivencia estaría en peligro.

Es vital para los azande mantenerse en su error lógico so pena de convulsiones sociales u de implicar un cambio radical en sus modos de vida.

A veces Wittgenstein equipara la extracción de una conclusión lógica con la convicción de que algo no puede ser de otra manera: los encadenamientos lógicos son aquellos que nos parecen evidentes. Ahora son los azande quienes consideran evidente que todo el clan de un brujo no puede estar integrado por brujos; para ellos esto no puede ser de otra manera. Es lógico, por tanto, que no saquen esa conclusión. Pero como para nosotros ésa es la conclusión que debe sacarse, debe haber más de una lógica: la de los azande y la de los occidentales.

Para subrayar la autosuficiencia de la visión azande, Winch dirige la atención hacia ciertas diferencias entre la analogía del juego y el caso en cuestión. El antiguo juego se volvía efectivamente obsoleto cuando aparecía nueva información; una vez que se conoce el truco, el juego se derrumba bajo el impacto del conocimiento. Pero los azande no se limitan a descartar la brujería cuando se les llama la atención sobre (las que consideramos que son) todas sus implicaciones lógicas; no quedan sumidos en la confusión. Winch sugiere que esto prueba que la brujería y la lógica azandes no se pueden comparar con la perspectiva occidental, que no se relacionan entre sí como partes de un todo. El suyo es un juego diferente que no se prolonga en el nuestro de un modo natural.

La discusión de Winch atañe sólo a la unicidad de la lógica pero no discute su poder. De hecho, parece compartir la creencia en ese poder. Pese a su crítica, parece dar por supuesto que, si hubiera habido una contradicción lógica en las creencias azande, la institución de la brujería se habría visto efectivamente amenazada.

Si Mill tiene razón, la lógica está en el extremo opuesto al poder, La aplicación de los esquemas lógicos es sólo una manera de reordenar a posteriori nuestras reflexiones, y siempre está sujeta a negociación.

Lord Mansfield se hubiera sentido orgulloso de los azande, pues siguen fielmente su consejo: expresan sus decisiones rotundamente sin preocuparse por aportar una elaborada estructura que las justifique. Siguen los pronunciamientos de su oráculo cuando éste decide quién es o no un brujo y saben, con la misma confianza, que no todos los miembros del clan afectado son brujos. Ambas creencias son estables y centrales en sus vidas. Si alguna vez llegara a plantearse el problema de la inferencia, negociarían la amenaza con habilidad para rechazarla sin mayor dificultad. Todo lo que necesitarían serían unas cuentas distinciones sutiles. Uno de ellos puede haber sido acusado de brujería sin que por ello se le trate siempre como brujo; en ese caso dicen que la sustancia brujesca se ha “enfriado”, y ya no es más un brujo a ningún efecto. La lógica no amenaza la institución de la brujería porque in razonamiento lógico siempre se puede sustituir por otro.

(Ver figura 11, página 213) Los factores realmente importante son los dos elementos de la situación que se dan socialmente por supuestos: el uso del oráculo y la inocencia general del clan en su conjunto, Ambos están sancionados por la tradición y son centrales en la forma de vida azande, por lo que ninguna extrapolación meramente lógica que pueda seguirse de uno de ellos va a perturbar al otro. Si una estructura de justificación no cumple su función, siempre se puede inventar otra.

El que nosotros sí podemos imaginar que la acusación de brujería pueda generalizarse a todo un clan se debe simplemente a que no experimentamos verdaderamente la presión que se ejerce contra esa conclusión.

Las principales variables sociales de una situación así son de dos tipos: las instituciones, que se dan por supuestas, y el grado de elaboración y desarrollo de las ideas que mantienen unidas a estas instituciones entre sí. En el caso de los azande esa elaboración es mínima, aunque en otras culturas puede estar muy desarrollada. (Ver ejemplo página 213-214). Las instituciones son estables y nuestros razonamientos informales hacen los ajustes necesarios. Si percibimos la fuerza de las inferencias lógicas es porque ya tenemos cierta disposición crítica hacia las instituciones. Así, la asimilación inductiva entre casos distintos puede llegar a imponerse sobre las deducciones formales que nos llevarían de un modo lógico a expresar nuestra condena.

Este proceso de reelaboración es una característica general de nuestra cultura, e interviene tanto en la ciencia como en el sentido común. (Ver otro ejemplo página 215). La compulsión lógica que se sigue de un modelo elemental de sustracción se consigue rodear con un modelo de sustitución.

Gay-Lussac había descubierto una regularidad estrictamente empírica en la manera de combinarse los gases. Si dos gases Ay B se combinan para formar un gas C, él encontró que 1 volumen del gas A siempre se combinaba con 1, 2, 3 o un pequeño número entero de volúmenes del gas B, suponiendo que los volúmenes se han medido en iguales condiciones de presión y temperatura. La teoría atómica de Dalton había mostrado a los científicos la utilidad de pensar las combinaciones químicas en términos de combinaciones directas de átomos. Con ello, el resultado de A se combinaba con, por ejemplo, 1 volumen de B era porque el mismo volumen de cada gas contenía el mismo número de átomos.

El único problema de esta idea estaba en que, a veces, si se combinaba 1 volumen de A con 1 volumen de B daba lugar a un gas C que ocupaba 2 volúmenes, a la misma presión y temperatura. La idea de que cada volumen contenía el mismo número de átomos sólo podía mantenerse ahora si los átomos se dividían por la mitad; si no, ese volumen doble sólo tendía la mitad de átomos por unidad de volumen.

Es fácil evitar la conclusión de que los átomos deban dividirse sin dejar de mantener esa idea de que hay un mismo número de ellos en un mismo volumen. La combinación se lleva a cabo, no por simple adición, sino por sustitución.

Todo esto sugiere que los azande piensan de un modo muy parecido al nuestro. Su aparente rechazo a comportarse lógicamente tiene la misma base que a nosotros nos permite desarrollar estructuras teóricas altamente refinadas. Sus creencias en torno a la brujería reaccionan ante los mismos imperativos que las nuestras, si bien esos imperativos actúan en diferentes grados y direcciones. Su comportamiento y el nuestro se parecen lo suficiente como para esforzarnos en trazar una teoría explicativa sobre las reelaboraciones intelectuales que dé razón tanto de los azande como de los científicos atómicos.

Los azande tienen la misma psicología que nosotros pero instituciones muy diferentes. Si asociamos la lógica con la psicología del razonamiento, tendremos a decir que tienen la misma lógica; si, por el contrario, la asociamos con el marco institucional de pensamiento, nos decantaremos más bien por ver que las dos culturas tienen lógicas diferentes. Nuestras tendencias naturales a la inferencia, como cualesquiera otras tendencias naturales, no constituyen por sí mismas un sistema ordenado y estable, sino que se necesita algún tipo de estructura impersonal que trace límites y sitúe cada tendencia en un ámbito propio que la delimite.

Las fronteras y el contenido de nuestros conceptos son tan poco susceptibles de ser descubiertos como lo son las fronteras de nuestros países o el contenido de nuestras instituciones: son creaciones.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 20

Las paradojas del infinito

Consideremos de nuevo el silogismo: todos los A son B, C es A, luego C es B. He sostenido que este razonamiento se basa en nuestra experiencia de la inclusión y de la clausura. El todo es mayor que la parte. (Ver figura 10, página 205).

Uno puede sentirse tentado a suponer que, como las experiencias de clausura son iguales para todos, grabarán este principio en todas las mentes de modo uniforme y sin excepción. No es sorprendente que quienes creen en la universalidad de la lógica lo citen como prueba.

Stark no está diciendo que esa verdad sea innata. Permite que proceda de la experiencia, pero es tan directa su conexión con la experiencia que no puede insinuarse que nada se interponga entre la mente u la aprehensión directa de esta necesidad. Siempre y en todo lugar, el todo es mayor que la parte. Esta idea se encuentra en todas las culturas, se trata de un aspecto de nuestra experiencia al que siempre podemos apelar y que siempre tiene aplicación. En matemáticas hay un campo llamado “aritmética transfinita” que debe sus logros precisamente al rechazo explícito del principio de que el todo es mayor que la parte. Este ejemplo muestra que hay verdades aparentemente evidentes, respaldadas por modelos físicos convincentes, que, sin embargo pueden subvertirse y renegociarse.

Consideremos la secuencia de números enteros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Seleccionemos de este secuencia infinita otra secuencia infinita constituida sólo por los números pares: 2, 4, 6, …

1 2 3 4 5 6 7 …

2 4 6 8 10 12 14 …

Sabemos por sentido común que los números pares se pueden contar; se dice que los números pares se ponen en correspondencia uno-a-uno con los números enteros. Esta correspondencia uno-a-uno nunca se interrumpe. Supongamos que ahora decimos que los conjuntos de objetos que tienen una correspondencia uno-a-uno entre sus miembros tienen el mismo número de miembros. Intuitivamente esto parece razonable, pero en nuestro caso significa que existe la misma cantidad de números pares que de números enteros. Los números pares, sin embargo son una selección, una mera parte, un subconjunto de todos los números enteros. Por lo tanto, la parte es tan grande como el todo y el todo no es mayor que la parte.

Esta propiedad de los conjuntos infinitos ya era conocida muchos años antes del desarrollo de la aritmética transfinita, y se consideraba una prueba de que la idea misma de conjuntos de tamaño infinito era lógicamente paradójica, auto-contradictoria y defectuosa. Lo que en un momento sirvió para descartar conjuntos infinitos se aceptó más tarde como su propia definición.

¿Cómo puede una contradicción convertirse en una definición? ¿Cómo es posible esa renegociación? Lo que ha ocurrido es que el modelo de clausura física que subyace a la convicción de que el todo es mayor que sus partes ha cedido paso a otra imagen o modelo dominante: el de los objetos puestos en correspondencia uno-a-uno. Una vez que este modelo alternativo se ha convertido en centro de atención entonces la simple rutina de alinear los números pares con los números enteros se convierte en la base natural para concluir que la parte (los números pares) es tan grande como el todo (todos los números enteros). Se ha concretado y explotado un nuevo tipo de experiencia. Si los principios lógicos ineluctables resultan de una selección de elementos de nuestra experiencia, siempre podrán desafiarse apelando a otros aspectos de esa experiencia. Cuando se plantean nuevos intereses e intenciones, o nuevas preocupaciones y ambiciones, entonces se dan las condiciones necesarias para que sufran reajustes.

No hay ningún sentido absoluto que obligue a nadie a aceptar el principio de que el todo es mayor que la parte. No es la estricta significación de las palabras la que imponen ninguna conclusión. Las aplicaciones precedentes del modelo crean la presunción de que los casos nuevos que sean similares se someterán también a la misma regla, pero la presunción no es compulsión y decidir sobre una similitud es un proceso, inductivo y no deductivo. Estamos constreñidos en asuntos de lógica en el mismo sentido en que lo estamos para aceptar unas conductas como correctas y otras como erróneas; porque damos por supuesta cierta forma de vida. Wittgenstein cree correcto decir que estamos constreñidos por las leyes de la inferencia de la misma manera en que lo estamos por cualquier otra ley en la sociedad humana.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 19

La negociación en el pensamiento lógico y matemático

Retomamos el análisis de la compulsión lógica; su intención es añadir a las explicaciones ofrecidas hasta ahora un proceso completamente nuevo que denominaré “negociación”. Las convenciones, las normas o las instituciones sociales no siempre nos constriñen a través de la internalización directa del sentido de lo correcto y de lo erróneo, y además, no pueden hacerlo; y de igual manera que nuestros papeles y obligaciones sociales pueden entrar en conflicto, puede ocurrir lo mismo con los resultados de nuestras instituciones lógicas. Para una comprensión cabal de este fenómeno, necesitaremos, más que nunca, una perspectiva sociológica. Mill debate con Whately si el silogismo contiene una “petito principii”

Todos los hombres son mortales

El Duque de Wellington es un hombre

Luego el Duque de Wellington es mortal

Mill cree que, efectivamente, aquí se da una circularidad.

El consejo de Lord Mansfield

La parte más familiar de la teoría de Mill es que el razonamiento procede de lo particular a lo particular. La inferencia sobre la mortalidad del Duque se  basaba en una generalización inductiva y en una asociación de ideas: la experiencia de los casos pasados permite hacer generalizaciones seductivas fiables sobre la muerte y éstas se extrapolan naturalmente para respaldar casos que parecen muy similares a aquellos que acontecieron en el pasado. Mill dice que el verdadero proceso de inferencia consiste en el tránsito de los casos particulares pasados a los casos particulares del presente, por lo que el proceso de pensamiento involucrado no depende de la generalización de que todos los hombres seamos mortales.

Mill deja caer las alusiones que mencionábamos. Las proposiciones generales son para Mill simplemente “registros” de las inferencias que ya hemos realizado. El razonamiento consiste en el acto específico de asimilar los nuevos casos a los viejos. Mill se refiere a la generalización de que todos los hombres son mortales como a un “recordatorio”. La inferencia sobre la mortalidad de cualquier persona específica, dice Mill, no resulta del propio recordatorio sino más bien de aquellos casos pasados que sirvieron para establecer dicho recordatorio.

Para Mill, hablar en esos términos de las premisas y los principios conlleva dos ideas:

1.    Sugiere que son derivados o simples epifenómenos.

2.    Mientras indica que no son centrales para el acto del razonamiento en sí, sugiere que podrían desempeñar alguna otra función positiva, aunque diferente de la que se le suele atribuir. El modo en que Mill habla de esta otra función evoca un medio de documentar y archivar lo que ha ocurrido.

Si las razones no llevan a conclusiones, sino que simplemente son ideas a posteriori, ¿qué relación mantienen entonces con esas conclusiones? Mill considera que la conexión entre los principios generales y los casos que caen bajo su ámbito es algo que debe crearse: se tiene que construir un puente interpretativo.

Mill trata el silogismo: sus estructuras formales se conectan con las inferencias reales a través de un proceso interpretativo. La lógica formal es un modo de exponer las cosas, una disciplina impuesta, una estructura superficial construida y más o menos artificial. La idea central es que los principios formales de la razón son herramientas de los principios informales del razonamiento. La lógica deductiva es el producto de una reflexión interpretativa a posteriori.

¿Cómo se expresa la prioridad de lo informal sobre lo formal?:

1.    El pensamiento informal puede utilizar el pensamiento formal, puede tratar de fortalecer y justificar sus conclusiones predeterminadas fundiéndolas en un molde deductivo.

2.    El pensamiento informal puede tratar de criticar, evadir, burlar o rodear los principios formales. La aplicación de los principios formales es siempre un asunto potencial de negociación informal.

El pensamiento informal parece que reconoce la existencia y la potencia del pensamiento formal al tiempo que mantiene voluntad propia, sigue su propio camino, pasando inductivamente de lo particular a lo particular, dejándose guiar por lazos asociativos.

Consideremos el silogismo: todo A es B, C es A, luego C es B. Éste es un patrón compulsivo de razonamiento, que emerge de nuestro aprendizaje de ciertas propiedades físicas elementales, como el que unas cosas contengan a otras. Esta simple situación suministra un modelo del patrón general que se considera formal, lógico y necesario. Los principios formales aprovechan nuestra proclividad natural a extraer conclusiones; por eso, cuando los empleamos, pueden ser tanto aliados valiosos como enemigos importantes.

Quizá aquello designado por la letra C no sea realmente un A, o quizá no todas las cosas consideradas como Aes sean realmente Bes. En general, habrá que establecer distinciones, redefinir límites señalar y explotar similitudes y diferencias; desarrollar nuevas interpretaciones, etc. Este tipo de negociación no pone en cuestión la propia regla del silogismo. Esa regla está arraigada en nuestra experiencia del mundo físico y tendremos que concederle algún ámbito de aplicación; quizá más adelante hayamos de recurrir a ella. Lo que sí se puede negociar es cualquier aplicación particular de la regla.

El pensamiento informal, por tanto, hace un uso positivo de los principios formales, así como también necesita burlarlos o rodearlos. El pensamiento informal es, a la vez, conservador e innovador.

La idea de que la autoridad lógica es una autoridad moral corre el riesgo de desatender los elementos más dinámicos del pensamiento lógico. Podría decirse que la autoridad, en tanto que algo que se da por supuesto, está en un equilibrio estático que contrasta con la otra imagen de equilibrio dinámico. Esa aceptación estática puede ser una forma más estable y compulsiva de autoridad, pero dicha estabilidad también puede verse perturbada.

Para algunas personas y en algunas circunstancias, los preceptos morales o legales, por ejemplo, se pueden internalizar como valores cargados emocionalmente que controlan la conducta. En otros casos, estos preceptos pueden aprehenderse simplemente como elementos de información, como cosas a tener en cuenta cuando se va actuar y se quieren prever las reacciones de los otros, La concurrencia de estos dos modelos de influencia social en las matemáticas no puede sino fortalecer su similitud con otros aspectos de la conducta.

Cuanto más formalizados estén los principios lógicos en cuestión, más explícito y consciente es el proceso de negociación; y viceversa, cuanto menos explícitos son los principios, más tácita es la negociación.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 18

Los infinitésimos

A veces se dice que una curva se compone “en realidad” de muchos pequeños segmentos de recta; y, evidentemente, esa analogía entre una curva regular y una colección de segmentos enlazados entre sí aumenta cuanto más pequeños y numerosos son esos segmentos, Este tipo de intuiciones son las que dieron origen a la idea de magnitudes infinitamente pequeñas o infinitésimos, así como a la noción de límite. La larga historia de estas ideas culminó en el cálculo infinitesimal.; ver las superficies y los sólidos como si estuvieran compuestos de segmentos o rebanadas, respectivamente; este procedimiento permite captar intelectualmente ciertas formas qie, de otro, modo no se comprenderían. (ver figura 8 página 192)

En los SXVI y XVII el uso de los infinitésimos llegó a hacerse habitual en el pensamiento matemático; Cavalieri recurrió a establecer analogías entre la manera en que puede constituirse un sólido a partir de segmentos infinitesimales y la manera en que un libro se compone de sus páginas. Sugirió que una superficie estaba hecha de líneas infinitesimales del mismo modo que un tejido se hace con hilos finísimos. Un uso particularmente atrevido de los infinitésimos fuel el que hizo Wallis para encontrar un triángulo compuesto de minúsculos paralelogramos cuyo grosos es “apenas el de una línea”. El área de cada paralelogramo es prácticamente igual a su base por su altura (ver figura 9 página 193). El área total es evidentemente la suma de las áreas de todos los paralelogramos. Wallis sabía que la suma de los términos de una progresión aritmética es el producto del número de términos por su valor medio, y no vio razón alguna por la que dejar de aplicar este modelo de inferencia a esa sucesión infinita de segmentos infinitesimales (ver fórmulas página 193). Algunos pensadores como Cavalieri, eran escépticos sobre la realidad de los infinitésimos; otros, como Galileo, desarrollaron largos argumentos filosóficos en su favor.

Para los matemáticos modernos los términos en los que Wallis hace sus cálculos no tienen ningún significado preciso. Los historiadores no han dejado de reconocer lo valioso que fue ese relajamiento del rigor, pues permitió por primera vez que ese tipo de expresiones figurara en los cálculos. El griego Arquímedes también vio la utilidad de imaginar que las figuras planas se cotaran en rodajas, y usó esta idea, junto con otras metáforas más mecánicas todavía, para facilitar la intuición matemática de algunas formas y figuras difíciles de tratar.

Arquímedes esboza las líneas maestras de este “método de teoremas mecánicos” en una carta en la que subraya que él no prueba ni demuestra realmente los teoremas que propone. Una verdadera demostración es una demostración geométrica, y no una que se base en metáforas de formas que se cortan en rodajas o se equilibran entre sí. Tales demostraciones geométricas satisfacían la exigencias de no utilizar infinitos actuales. Es interesante señalar que los matemáticos renacentistas no conocían el método empleado por Arquímedes.

El gran énfasis en el rigor que marcó las matemáticas del SXIX reinstauró la prohibición sobre los infinitos actuales y los infinitésimos que ya había dominado en Grecia pero que se había desvanecido en el SXVI.

Estas oscilaciones hacen pensar que en las matemáticas podría haber dos factores o procesos diferentes que se encuentran en tensión entre sí o que, al menos, se mezclan en distintas proporciones. Bajo las matemáticas que hoy asociamos con el cálculo infinitesimal ha habido una constante intuición de que las curvas regulares, las figuras planas o los sólidos pueden verse como si estuvieran realmente constituidos por cortes; se trata de un modelo o metáfora que a menudo atrae a la gente cuando piensa en estas cuestiones. Por supuesto, las matemáticas no son los mismo que el pensamiento intuitivo; siempre se han impuesto normas de demostración y de lógica.

El inconveniente fue la confusión y la divergencia de opiniones; hubo más espacio para las creencias personales y las desviaciones creativas, pero la certeza quedó amenazada ante la proliferación incontrolada de desacuerdos, anomalías y singularidades. Las operaciones básicas del cálculo y la intuición de similitudes, modelos y metáforas pueden considerarse como los aspectos empíricos o experimentales de las matemáticas, correspondiéndose con los datos aportados por la experiencia y los experimentos en las ciencias naturales. No parece haber razones, por tanto, para tratar a las matemáticas de manera distinta a las ciencias empíricas.

Conclusión

Hemos presentado una serie de casos que pueden entenderse como modos diferentes de pensamiento matemático. Esas matemáticas diferían de las nuestras en su estilo, sus significaciones, sus analogías y sus criterios de fundamentación. Estas discordancias son significativas y reclaman una explicación, que bien pudiera encontrarse en causas de tipo social. Estos ejemplo muestran que las matemáticas se fundan en la experiencia pero en una experiencia que resulta de seleccionar ciertos hechos según criterios mudables, una experiencia a la que se dota de significados, conexiones y usos que también son variables. Una parte de la experiencia sirve de modelo para tratar numerosos problemas; cómo esos modelos se generalizan mediante analogías y metáforas.

Estas variaciones y discordancias en el pensamiento matemático suelen ocultarse. Una de las teorías empleadas consiste en insistir en que un determinado estilo de pensamiento sólo merece el nombre de matemáticas en la medida en que se asemeja al nuestro.

No puede escribirse historia sin llevar a cabo un proceso de interpretación. Al establecer comparaciones y contrastes, al discriminar lo valioso de lo descartable, al separar lo significativo de lo insignificante, al tratar de encontrar un sistema o cierta coherencia, al interpretar lo que parece oscuro o incongruente, al cubrir las lagunas o al descartar los errores, al explicar lo que los pensadores habrían podido o debido hacer si hubieran tenido más información, más luces o más suerte, al hacer un comentario detallada que reconstruya los supuestos y las creencias subyacentes…, nos es necesario para entender nuestra historia, pero lo importante es que nos preguntemos qué normas vamos a imponer y qué preocupaciones nos van a guiar en ese trabajo de construir nuestro sentido del pasado.

Si los historiadores quieren mostrar el carácter acumulativo de las matemáticas, pueden hacerlo gracias a ese dispositivo interpretativo. En lugar de mostrar la existencia de matemáticas alternativas, el trabajo se centrará ahora en separar el trigo de la paja. Cajori subraya que las matemáticas son la ciencia acumulativa por excelencia, que en ellas nada se pierde y que las contribuciones del pasado más remoto brillan con el mismo esplendor que las aportaciones actuales.

Esas virtudes se ponen al servicio de una visión general progresista, y esa visión es la que debe ponerse en entredicho. Hay discontinuidades y variaciones tanto en el interior de las matemáticas como entre lo que es matemática y lo que no lo es. Debemos recurrir a otras estimaciones como, por ejemplo, los mecanismos del pensamiento lógico y matemático. De ello trataba también la discusión entre Ferge y Mill.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 17

El número pitagórico y platónico

Los griegos usaban el cálculo por motivos prácticos en la plaza del mercado, pero distinguían radicalmente este uso del número de la elevada contemplación de sus propiedades. Distinción que se corresponde con la discriminación que hacían entre logística y aritmética, o entre una aritmética práctica y otra teórica; se corresponde a su vez con una discriminación social. Para Platón, son los amantes de la sabiduría, los filósofos, quienes deben gobernar en una sociedad bien ordenada.

La contemplación teórica del número comprendía una de sus propiedades, llamada eidos. Klein explica que este término hace referencia ala “especie” o el “tipo” del número, o más literalmente a su “forma”, “figura” o “aspecto”. Hay que recordar que el número griego es únicamente número de cosas, y los números de cosas siempre pueden representarse como números de puntos. Estos puntos pueden disponerse a menudo formando figuras características, como cuadrados, triángulos o rectángulos, de modo que resulta natural hablar de números cuadrados, números triangulares o números rectangulares u oblongos (ver figuras página 184).

Una vez que los números se han clasificado así en categorías, pueden estudiarse las propiedades en términos de formas o eidos. Los griegos usaban un artificio llamado gnomon, que era un número figurado que, al añadirse a alguna de las figuras anteriores, no alteraba su configuración general.

Lo primero que salta a la vista en este enfoque de la aritmética es lo bien que encaja en el análisis de Mill. Se trata de un caso histórico en el que el conocimiento de los números se lleva a cabo observado objetos sometidos a operaciones simples de ordenamiento y clasificación.

La segunda observación se refiere a lo que esta aritmética tiene de particular, y no a lo que en ella hay de universal. Resalta cómo cristaliza cierto elemento de la experiencia (el gnomon) para convertirse en una herramienta especializada de investigación. Las matemáticas modernas y la teoría de números también muestran cierto interés por los tipos de números, pero no se parecen en nada a ese enfoque clasificatorio de los pitagóricos y los platónicos posteriores, En ellos, la aritmética a veces toma el aspecto de una historia natural de los tipos y de las especies y subespecies de las formas de los números.

¿Qué interés puede tener esta aritmética teórica?: los pensadores de la época fundaban sobre ella todo un sistema de clasificación en el que se representaban simbólicamente la sociedad, la vida y la naturaleza: en el orden y la jerarquía que se manifiestan en esa aritmética ven ellos condensados tanto la unidad del cosmos como las aspiraciones y el papel que en él juega el hombre. Los distintos tipos de números significan instancias como la Justicia, La Armonía o lo Divino.

Los modos de correspondencia entre matemáticas y mundo natural se manifiestan, en su nivel más simple, en la correlación que establece los pitagóricos y neoplatónicos entre propiedades sociales, naturales y numéricas. Su célebre Tabla de los Opuestos ilustra esa distribución de categorías:

Indefinido Definido

Múltiple Uno

Izquierdo Derecho

Femenino Masculino

Oscuro Claro

Malo Bueno

Par Impar

Móvil Estático

Oblongo Cuadrado

Pero el número no sólo simboliza las fuerzas cósmicas sino que se supone que posee una eficacia divina o que participa de ella en alguna manera, de modo que el conocimiento del número era un medio de situarse mentalmente en ciertos estados superiores de fuerza moral y de gracia.

Stevin era un representante de las auténticas matemáticas mientras que sus adversarios eran más bien anti-matemáticos; el suyo no era otro modo de hacer matemáticas sino un modo de no hacerlas en absoluto. Si no concedemos al misticismo numerológico rango de matemáticas, ni siquiera puede plantearse la cuestión de si se trata o no de otra matemática. Y si lo que hacemos es dividir los casos históricos en dos categorías, una que incorpora los componentes genuinamente matemáticos y otra que no merece llamarse matemáticas.

Lo que se opone a una sociología de las matemáticas es esa idea de que las matemáticas gozan de vida y significado propios, esto es, suponer que sus símbolos encierran en sí mismos unas significaciones intrínsecas que están ahí aguardando simplemente a ser percibidas o comprendidas.

La metafísica de la raíz de dos

Hoy se da por supuesto que la raíz de dos es un número, a saber, el número que, al multiplicarse por sí mismo, da como producto el número 2. Habitualmente se dice que es un número irracional, denominación heredada de una época en que había un notable interés sobre cuál era si condición. El problema está en que no hay ninguna fracción p/q que sea igual a la raíz de dos. (Ver fórmulas página 188).

Para nosotros, si no es racional es que es irracional, pero para los griegos no era así. Para ellos, lo que se ha demostrado con lo anterior es que la raíz de dos no es un número en absoluto, Por más que la raíz de dos no fuera un número, sí correspondía, sin embrago, a una longitud geométrica bien definida: por ejemplo, la de la hipotenusa de una triángulo rectángulo cuyos lados tuvieran de longitud la unidad. Esto nos da una idea del abismo que separaba la geometría de la aritmética.

¿Demuestra que la raíz de dos no es un número o que es un número irracional? Es evidente que lo que demuestra depende del marco de presupuestos sobre el número en cuyo interior se consideran los cálculos. Si por número se entiende básicamente el número destinado a contar, una colección de puntos, entonces el cálculo significa algo muy distinto que si el número se asocia intuitivamente con la imagen de un segmento de una línea continua.

Imaginemos una cultura donde la gente haya aprendido muchas cosas importantes sobre aritmética pero apenas haya concedido importancia a las categorías de lo par e impar, que las utilicen en sus cálculos pero que no supusieran para ellos un auténtico criterio de demarcación; una cultura que nunca hubiera soñado con erigir una Tabla de los Opuestos como la de los pitagóricos ni, mucho menos, con entrelazar lo par y lo impar con otras dicotomías cósmicas.  Después de todo, la noche se funde con el día, lo bueno con lo malo y lo blanco con lo negro. Un cálculo como el anterior podría allí entenderse, del modo más rotundo y natural, como una demostración de que los números pueden ser simultáneamente pares e impares, lo que además vendría a confirmar su creencia en que no es nada realista trazar fronteras rígidas.

Estas condiciones son de orden social, en el sentido de que residen en el sistema de clasificaciones y significaciones que una cultura sustenta de forma colectiva. Son condiciones que pueden variar y, en la medida en que lo hagan, variará también el significado de los objetos matemáticos.

Si el sentido particular de una cálculo depende del conjunto de presupuestos compartidos, su influencia general es aún más contingente. Al descubrimiento de las magnitudes irracionales se le llama habitualmente la “crisi de los irracionales” en la matemática griega, y se trataba efectivamente de una crisis porque la separación entre magnitud y número que el descubrimiento evocaba en los griegos se oponía a su anterior hábito de imaginar las líneas y las formas compuestas por puntos. Quizá un Roberval griego prematuro  hubiera evitado la crisis de los irracionales, pero lo que sí es cierto es que el teorema sobre la raíz cuadrada de dos no impidió a Roberval desarrollar sus trabajos.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 16

El “Uno”, ¿es un número?

En las matemáticas griegas era un lugar común decir que el uno no es un número, que no es no par ni impar sino par-impar, o que dos no es un número par. Hoy todas estas afirmaciones son falsas. Para nosotros el uno es tan número como cualquier otro, y Frege lo usa como tal en sus argumentos sin pensárselo dos veces. El uno es número impar así como el dos es par, y no hay una categoría como ésa de par-impar. ¿En qué estaban pensando entonces los griegos?

Decían que el uno no es un número porque en él veían el punto de arranque o de origen de todos los números. Aristóteles decía “uno es lo que mide una multiplicidad, y el número es una multiplicidad medida i una multiplicidad de medidas. Por tanto, es evidente que el uno no es un número; pues la unidad de medida no es una multiplicidad de medidas, sino que ambas (unidad de medida y uno) son principios”.

Caso lo que hoy rechazamos como un absurdo lógico sea mañana una verdad evidente. Lo que se percibe como absurdo parece depender de la clasificación subyacente que se presupone. La clasificación griega de los números es, en parte, similar a la nuestra, también ellos los dividían entre pares e impares. Se debe a que el uno genera tanto a los pares como a los impares, por lo que debe participar de la naturaleza de ambos: está situado aparte y por encima de la dicotomía par/impar. En Grecia se le concede al uno un papel similar en cuanto a su capacidad de transgredir las categorías.

A veces también al dos se le negaba la categoría de número por ser el generador de los números pares. Estas diferencias en los modos de clasificar pueden ser síntomas de algo más profundo: una divergencia entre los estilos cognitivos propios de las matemáticas griegas y de las nuestras.

Jacob Klein opina que es un error situar la noción de número en una única tradición ininterrumpida de significaciones. Para él, la noción de número no es algo que se va ampliando, sin más, para incluir primero los números irracionales, después los números reales y finalmente los números complejos. Klein llama la intención del número, de manera que cuando, por ejemplo, los algebristas del renacimiento asimilan los trabajos del matemático alejandrino Diofanto lo que está haciendo es reinterpretándole. La continuidad que creemos percibir en la tradición matemática es un artefacto, construido proyectando hacia atrás nuestro propio estilo de pensamiento para encontrarlo así en trabajos anteriores.

La diferencia entre el antiguo concepto de número y el moderno está, para Klein, en que el primero era siempre número de algo, siempre se trataba de una cantidad determinada u se refería a una colección de entidades, ya fueran objetos perceptibles, como cabezas de ganado, o unidades puras concebidas por el pensamiento mediante abstracción de cualesquiera objetos particulares. Klein aduce que esta noción de número es radicalmente diferente de la que hoy se utiliza en álgebra.

(Ver cálculo de Diofanto, página 176 y siguientes)

Este tipo de cálculo lo consideramos hoy como un cálculo algebraico: se tiene una cantidad desconocida, se plantea una ecuación y se manipula hasta que aparece le valor de la incógnita. Basta un vistazo a la obra de Diofanto para darse cuanta de que el pensamiento de su autor es diferentes de aquél en que descansa el álgebra elemental actual. Todo el álgebra de Diofanto consiste en buscar números muy concretos; no da a sus procedimiento algebraicos el mismo alcance general que nosotros sino que los subordina siempre a problemas numéricos. Cada vez que sus cálculo le llevan a lo que nosotros llamaríamos números negativos, Diofanto rechaza el problema inicial aduciendo que es imposible de resolver o que está mal planteado. Todo él se orienta a encontrar valores numéricos concretos.

La dificultad que encontramos es la de aprender a dejar de ver lo que nos han enseñado a ver. El problema es conseguir llegar a imaginar cómo serían las cosas desde esta otra perspectiva, no como una perspectiva truncada sino tan global como la nuestra, tan capaz de dar sentido a todo un mundo como capaces lo somos nosotros.

Una manera de percibir estas diferentes aproximaciones a lo numérico es observar lo diferentes que pueden llegar a ser las expectativas e intuiciones que guían a los matemáticos actuales en comparación con Diofanto. Hankel empieza por señalar que Diofanto trata de problemas muy diferentes, a los que aparentemente no une ningún principio común: “para cada cuestión recurre a un método especial que, a menudo, no vale siquiera para los problemas más parecidos. (…) como la trama de sus problemas no parece obedecer a ninguna necesidad científica, sino tan sólo a dar con una solución para cada uno, esa misma solución carece de una significación global y profunda. (…) le falta ese pensamiento especulativo que busca la Verdad más que la Precisión”.

El testimonio de Hankel es la mejor evidencia fenomenológica de que el trabajo de Diofanto se inscribe en un pensamiento matemático diferente del nuestro. La idea de que el número era un número de unidades, y que la propia unidad tenía una naturaleza distinta, se mantuvo hasta el SXVI. Simon Stevin afirma su convicción de que el uno es un número. Stevin razonaba diciendo que, si el número está compuesto de unidades, la unidad también forma parte del número, como la parte debe ser de la misma naturaleza que el todo, la unidad es un número. Para aceptar la premisa de que la parte es idéntica al todo, antes hay que estar de acuerdo en que los números sea homogéneos y continuos; su idea es que, de hecho, el número es análogo a la longitud, tamaño o magnitud.

Así, la nueva manera de clasificar los números depende de ver cómo puede asociarse el número a un línea, y ésta es precisamente la analogía que quedaba excluida con el anterior énfasis en la discontinuidad inherente al acto de contar. En las experiencias anteriores y en los actuales propósitos, elementos ambos que deben verse a su vez sumergidos en su contexto social y perfilados contra el telón de fondo de nuestras tendencias naturales y psicológicas.

Los números vinieron a cumplir una nueva función al utilizarse para indicar las propiedades del movimiento y del cambio. El número era una ilustración simbólica del orden y la jerarquía de los seres, por lo que tenía una dimensión metafísica y teológica. La nueva concepción del número estaba estrechamente ligada a la tecnología del SXVI.