Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte 18

Los infinitésimos

A veces se dice que una curva se compone “en realidad” de muchos pequeños segmentos de recta; y, evidentemente, esa analogía entre una curva regular y una colección de segmentos enlazados entre sí aumenta cuanto más pequeños y numerosos son esos segmentos, Este tipo de intuiciones son las que dieron origen a la idea de magnitudes infinitamente pequeñas o infinitésimos, así como a la noción de límite. La larga historia de estas ideas culminó en el cálculo infinitesimal.; ver las superficies y los sólidos como si estuvieran compuestos de segmentos o rebanadas, respectivamente; este procedimiento permite captar intelectualmente ciertas formas qie, de otro, modo no se comprenderían. (ver figura 8 página 192)

En los SXVI y XVII el uso de los infinitésimos llegó a hacerse habitual en el pensamiento matemático; Cavalieri recurrió a establecer analogías entre la manera en que puede constituirse un sólido a partir de segmentos infinitesimales y la manera en que un libro se compone de sus páginas. Sugirió que una superficie estaba hecha de líneas infinitesimales del mismo modo que un tejido se hace con hilos finísimos. Un uso particularmente atrevido de los infinitésimos fuel el que hizo Wallis para encontrar un triángulo compuesto de minúsculos paralelogramos cuyo grosos es “apenas el de una línea”. El área de cada paralelogramo es prácticamente igual a su base por su altura (ver figura 9 página 193). El área total es evidentemente la suma de las áreas de todos los paralelogramos. Wallis sabía que la suma de los términos de una progresión aritmética es el producto del número de términos por su valor medio, y no vio razón alguna por la que dejar de aplicar este modelo de inferencia a esa sucesión infinita de segmentos infinitesimales (ver fórmulas página 193). Algunos pensadores como Cavalieri, eran escépticos sobre la realidad de los infinitésimos; otros, como Galileo, desarrollaron largos argumentos filosóficos en su favor.

Para los matemáticos modernos los términos en los que Wallis hace sus cálculos no tienen ningún significado preciso. Los historiadores no han dejado de reconocer lo valioso que fue ese relajamiento del rigor, pues permitió por primera vez que ese tipo de expresiones figurara en los cálculos. El griego Arquímedes también vio la utilidad de imaginar que las figuras planas se cotaran en rodajas, y usó esta idea, junto con otras metáforas más mecánicas todavía, para facilitar la intuición matemática de algunas formas y figuras difíciles de tratar.

Arquímedes esboza las líneas maestras de este “método de teoremas mecánicos” en una carta en la que subraya que él no prueba ni demuestra realmente los teoremas que propone. Una verdadera demostración es una demostración geométrica, y no una que se base en metáforas de formas que se cortan en rodajas o se equilibran entre sí. Tales demostraciones geométricas satisfacían la exigencias de no utilizar infinitos actuales. Es interesante señalar que los matemáticos renacentistas no conocían el método empleado por Arquímedes.

El gran énfasis en el rigor que marcó las matemáticas del SXIX reinstauró la prohibición sobre los infinitos actuales y los infinitésimos que ya había dominado en Grecia pero que se había desvanecido en el SXVI.

Estas oscilaciones hacen pensar que en las matemáticas podría haber dos factores o procesos diferentes que se encuentran en tensión entre sí o que, al menos, se mezclan en distintas proporciones. Bajo las matemáticas que hoy asociamos con el cálculo infinitesimal ha habido una constante intuición de que las curvas regulares, las figuras planas o los sólidos pueden verse como si estuvieran realmente constituidos por cortes; se trata de un modelo o metáfora que a menudo atrae a la gente cuando piensa en estas cuestiones. Por supuesto, las matemáticas no son los mismo que el pensamiento intuitivo; siempre se han impuesto normas de demostración y de lógica.

El inconveniente fue la confusión y la divergencia de opiniones; hubo más espacio para las creencias personales y las desviaciones creativas, pero la certeza quedó amenazada ante la proliferación incontrolada de desacuerdos, anomalías y singularidades. Las operaciones básicas del cálculo y la intuición de similitudes, modelos y metáforas pueden considerarse como los aspectos empíricos o experimentales de las matemáticas, correspondiéndose con los datos aportados por la experiencia y los experimentos en las ciencias naturales. No parece haber razones, por tanto, para tratar a las matemáticas de manera distinta a las ciencias empíricas.

Conclusión

Hemos presentado una serie de casos que pueden entenderse como modos diferentes de pensamiento matemático. Esas matemáticas diferían de las nuestras en su estilo, sus significaciones, sus analogías y sus criterios de fundamentación. Estas discordancias son significativas y reclaman una explicación, que bien pudiera encontrarse en causas de tipo social. Estos ejemplo muestran que las matemáticas se fundan en la experiencia pero en una experiencia que resulta de seleccionar ciertos hechos según criterios mudables, una experiencia a la que se dota de significados, conexiones y usos que también son variables. Una parte de la experiencia sirve de modelo para tratar numerosos problemas; cómo esos modelos se generalizan mediante analogías y metáforas.

Estas variaciones y discordancias en el pensamiento matemático suelen ocultarse. Una de las teorías empleadas consiste en insistir en que un determinado estilo de pensamiento sólo merece el nombre de matemáticas en la medida en que se asemeja al nuestro.

No puede escribirse historia sin llevar a cabo un proceso de interpretación. Al establecer comparaciones y contrastes, al discriminar lo valioso de lo descartable, al separar lo significativo de lo insignificante, al tratar de encontrar un sistema o cierta coherencia, al interpretar lo que parece oscuro o incongruente, al cubrir las lagunas o al descartar los errores, al explicar lo que los pensadores habrían podido o debido hacer si hubieran tenido más información, más luces o más suerte, al hacer un comentario detallada que reconstruya los supuestos y las creencias subyacentes…, nos es necesario para entender nuestra historia, pero lo importante es que nos preguntemos qué normas vamos a imponer y qué preocupaciones nos van a guiar en ese trabajo de construir nuestro sentido del pasado.

Si los historiadores quieren mostrar el carácter acumulativo de las matemáticas, pueden hacerlo gracias a ese dispositivo interpretativo. En lugar de mostrar la existencia de matemáticas alternativas, el trabajo se centrará ahora en separar el trigo de la paja. Cajori subraya que las matemáticas son la ciencia acumulativa por excelencia, que en ellas nada se pierde y que las contribuciones del pasado más remoto brillan con el mismo esplendor que las aportaciones actuales.

Esas virtudes se ponen al servicio de una visión general progresista, y esa visión es la que debe ponerse en entredicho. Hay discontinuidades y variaciones tanto en el interior de las matemáticas como entre lo que es matemática y lo que no lo es. Debemos recurrir a otras estimaciones como, por ejemplo, los mecanismos del pensamiento lógico y matemático. De ello trataba también la discusión entre Ferge y Mill.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte XIV

La teoría de Mill modificada por factores sociológicos

¿De qué son números los números?, Mill dice: “evidentemente, de alguna propiedad que pertenece a los agregados de cosas, y esa propiedad es el modo característico en que el agregado está constituido por ellas y mediante el cual puede ser dividido en partes”. Mill debe estar reaccionando inconscientemente a las mismas presiones que llevaron a Frege a insistir en que los números no son inherentes a los objetos, sin más, sino que dependen  del modo en que se mire a esos objetos. La idea que Mill presupone involuntariamente es, por tanto, que no todas las distribuciones, ordenaciones o clasificaciones de objetos son relevantes como experiencias paradigmáticas en matemáticas. Entre los innumerables juegos a los que puede jugarse con guijarros, sólo los que siguen ciertos modelos o pautas alcanzarán esa categoría especial que son los modos característicos de disponer y organizar los guijarros. Exactamente igual, no todos los innumerables modelos o pautas posibles con los que puede tejerse una alfombra serán igual de significativos para un grupo dado de tejedores tradicionales.

El punto al que Frege dirige su ataque es precisamente ése en el que la teoría de Mill deja atisbar que está necesitada de un componente sociológico para poner orden en la multitud de maneras de experimentar las propiedades de los objetos. El lenguaje de Mill pone de manifiesto que, de hecho, está reaccionando ante esa componente social, pero la deja escapar; y es justo esa laguna la que deja su teoría expuesta a las objeciones de Frege. La idea fundamental de Frege es que la teoría de Mills sólo se refiere a los aspectos meramente físicos de las situaciones que considera, que no acierta a captar lo que en cada situación hay de específicamente matemático. Esa componente ausente podemos ahora detectarla en el ámbito de lo típico, de los convencional, en todo aquello que hace que se les conceda a ciertos modelos el rango de características.

Una teoría que intente fundamentar las matemáticas en los objetos como tales, y no capte que hay ciertos modelos que resultan seleccionados y dotados de una categoría especial, ofrecería graves deficiencias pese a los prometedores que pudieran ser sus planteamientos. De entre todos los comportamientos posibles, sólo juegan el papel de modelos aquellos que siguen pautas fijadas o ritualizadas socialmente.

Frege se pregunta qué experiencia o hecho físico es el que puede corresponder a los números muy grandes o incluso a los números 0 y 1. Y si los números son propiedades de objetos externos, ¿Cómo podemos hablar razonablemente de tres ideas o de tres emociones, que son evidentemente objetos externos?

Lo que Frege dice del número 1 es que tener la simple experiencia de una cosa no es lo mismo que encontrar el número uno, y de ahí que en un caso se use el artículo indefinido mientras que en el otro se usa el artículo definido. Se trata de algo a lo que se mira de un modo especial y con una propósito especial, el propósito ritualizado de contar. El número 1 no corresponde a una cosa sino a todo lo que se contemple como elemento de un patrón o modelo característico. El número es el papel o la función, y no debe confundirse con uno u otro objeto que venga indiferentes a jugar ese papel o cumplir esa función.

¿Y cuál  es la experiencia asociada al cero? Frege insiste triunfalmente en que nadie ha tenido la experiencia de cero guijarros. Y todos los números, incluido el cero, tienen el mismo rango y del cero no tenemos ninguna experiencia, Frege concluye que tampoco la experiencia juega el menor papel en nuestro conocimiento de cualesquiera otros números.

La idea de que los números tienen el mismo rango que los papeles y las instituciones sociales acaso sea aún más sugerente en el caso del cero que en los de los demás números. Por exigencias de homogeneidad, si el cero es un artefacto convencional deben serlo también los restantes números.

Ahora viene la cuestión de los números muy grandes. No podemos tener experiencia de cómo repartir un millón de objetos del mismo modo que podemos hacerlo con cinco o diez. Hay dos opciones generales para explicar el hecho de que la experiencia y la aritmética se solapen sólo parcialmente. Puede interpretarse como Frege lo hace, en cuyo caso la débil conexión y correspondencia entre aritmética y experiencia es meramente fortuita; o bien puede utilizarse para dotar a esa débil conexión de una importancia máxima e intentar mostrar entonces cómo puede deducirse todo a partir de ella. Eso es lo que hace Mill.

El caso de la aritmética de los grandes números habrá de poder derivarse de aquellos otros que sí estén directamente relacionados con situaciones empíricas. Podemos dar cuenta de la aritmética basándonos en experiencias a pequeña escala, puesto que esta experiencia aporta modelos, procedimientos y técnicas susceptibles de aplicarse y extenderse indefinidamente. No hay ninguna incompatibilidad entre la teoría de Mill y una aritmética que funcione en ámbitos que no puedan ejemplificarse directamente en nuestra experiencia.

Frege se pregunta cómo, a partir de la teoría de Mill, pueden numerarse cosas inmateriales, como cuando decimos que los celos, la envidia y la codicia son tres emociones diferentes. Se debe enfocar una vez más el modo en que las situaciones empíricas pueden actuar como modelos. Estas situaciones deben ser tales que siempre se pueda asociarlas con todos los casos en que se aplica la aritmética. La razón de que puede hablarse de tres ideas debe residir, según esta teoría, en nuestra capacidad y habilidad para hablar de ideas como si de objetos se tratara. Nuestra aritmética sólo será aplicable en la medida en que estemos dispuestos a usar la metáfora del objeto.

¿utilizamos realmente a los objetos como modelos o metáforas cuando pensamos en fenómenos psíquicos? Como los fenómenos mentales son tan diferentes de los objetos físicos, sólo una fuerte determinación y una acusada tendencia a pensar en términos metafóricos puede aproximarlos.

Poincaré habla de sus ideas como si fueran moléculas de la teoría cinética de gases, agitándose en todas direcciones, colisionando e incluso fundiéndose entre ellas. Al adoptar la metáfora del atomismo, Poincaré está siguiendo una larga tradición de atomismo psicológico; pero la cuestión no es si esa tradición está o no equivocada sino que, equivocada o acertada, esa tendencia a usar la metáfora del objeto es algo asentado. Y puede valer para explicar lo que Frege pensó que nunca podrá explicar la teoría de Mill, a saber, la aplicación del número a las ideas, así como el mecanismo de su aplicabilidad en general.

¿Cómo pueden aplicarse los números a los estados mentales? El gran logro de la psicofísica del SXIX fue encontrar modos de comprender matemáticamente ciertos procesos mentales y, en particular, formular la ley de Weber-Fechner; la intensidad de una sensación es proporcional al logaritmo del estímulo. El paso crucial que permitió esa formulación fue encontrar un modo de segmentar los procesos mentales tal que los segmentos obtenidos pudieran contarse, pues entonces podía ya recurrirse al formidable aparato de la aritmética y el cálculo para obtener la formulación matemática de la ley. La estratagema utilizada para obtener unidades segmentadas y numerables fue introducir la noción de “diferencia precisa perceptible”: se incrementaba gradualmente cierto tono o peso hasta que el sujeto podía percibir el cambio. Se encontró que la medida de esta diferencia precisa perceptible era proporcional a la medida del estímulo. Según la teoría aritmética de Mill, este proceso de segmentación no es sino el medio de establecer la analogía entre la sensación subjetiva y el objeto, de manera que se puedan aplicar los procedimientos matemáticos habituales; es un modo de proyectar los estados psíquicos sobre objetos numerables y extender así la metáfora del objeto discreto.

Si esta argumentación es correcta, puede decirse que el ámbito de la aritmética es el ámbito de la metáfora del objeto material. En la medida en que podmaos ver algo como objetos a los que aplicar imaginariamente las operaciones de ordenamiento y clasificación podremos, asimismo, aplicar a ese algo las operaciones aritméticas de contar y numerar. El lazo o transición que hay entre aritmética y mundo es el lazo de una identificación metafórica entre entidades inicialmente desiguales. El comportamiento de los objetos simples, que está en la base de la aritmética, sirve como teoría para explicar el comportamiento de otros procesos y, como en la aplicación de cualquier teoría, el problema ya no es sino el de aprender a mirar las nuevas situaciones como casos de ejemplos ya conocidos o más familiares. La tendencia de Frege a mirar los objetos aritméticamente como algo puro y separado de los objetos materiales crea un abismo entre las matemáticas y el mundo. Con la teoría de Mill no es necesario lanzar arriesgados puentes entre territorios diferentes, pues nace del mundo y crece a partir de su modesto origen empírico.

Resumen y conclusión

La lógica de Mill aporta la idea fundamental de que las situaciones físicas sirven de modelos para los pasos que se dan en el razonamiento matemático. Las objeciones de Frege hacen ver cuál es ese ingrediente ausente: la teoría de Mill no hace justicia a la objetividad del conocimiento matemático, no da cuenta de la naturaleza ineluctable de sus deducciones, no explica por qué las conclusiones matemáticas dan esa sensación de no poder ser distintas de las que son. Aún somos libres de imaginar que los objetos podrían comportarse de modo distinto al que lo hacen, lo cual no nos es posible respecto de las matemáticas. El componente psicológico aporta el contenido de las ideas matemáticas y el componente sociológico explica cómo se lleva a cabo la selección entre distintos modelos físicos y cómo se dota de un aura de autoridad al modelo seleccionado. Gracias al recurso a los conceptos de modelo y metáfora, nos ha sido también posible contestar sus objeciones sobre los grandes números y sobre el amplio campo al que se aplica la aritmética.

El problema menor se refiere a la sensación antes apuntada de que hace falta cierta Realidad para dar cuenta de las matemáticas. Parte de esa realidad la forma el mundo de los objetos físicos y, otra parte, la sociedad. Pero si las matemáticas versan sobre el número y sus relaciones y si éstos son creaciones y convenciones sociales, entonces las matemáticas tratan, de hecho, sobre algo social. Puede decirse que tratan de la sociedad, que tratan de la sociedad en el mismo sentido en que Durkheim dice que la religión trata de la sociedad. La conexión y el modo de participación implicados siempre quedan tan sólo insinuados y nunca se explicitan, así cuando Frege habla vagamente, no de que los números sean conceptos, sino de “descubrir los números en los conceptos” o de la “transparencia” de los conceptos puros del intelecto. Mi teoría podría sostenerse razonablemente si consigue comprender algunos de los hechos más sobresalientes y sugerir líneas claras de desarrollo.

El problema más importante concierne a la unicidad de las matemáticas, y apenas hemos dicho nada sobre ello; no cabe la menor duda de que, según nuestra teoría, la creencia en que la matemática es única tiene exactamente el mismo rango que la creencia en que sólo hay una verdad moral.

Conocimiento e imaginario social - David Bloor Parte XIII

Las críticas de Frege a Mill

Mill trata las matemáticas como un conjunto de creencias sobre el mundo físico que surgen de la experiencia que tenemos de ese mundo. Los dos elementos centrales de su análisis son:

1.    Las creencias y procesos de pensamiento entendidos como acontecimientos mentales.

2.    Las situaciones físicas sobre las que versan las creencias.

La crítica de Frege abre dos frentes de ataque. Crítica la concepción de los números como cosas mentales o subjetivas; y aquella que refiere los números a objetos físicos o a propiedades de éstos. Para Mill los fundamentos de las matemáticas están en su anclaje psicológico, en los procesos fundamentales mediante los que se genera y se transmite el conocimiento.

Frege procede de un modo completamente diferente. Él se enfrenta a una definición de las matemáticas como “pensamiento mecánico acumulativo”, le parece una “tosquedad típica”. Frege se esfuerza especialmente en mantener una frontera entre las matemáticas, por un lado, y las ciencias psíquicas y naturales, por el otro. Los conceptos matemáticos, afirma, tienen un refinamiento en su estructura y una pureza mayores quizá que los de ninguna otra ciencia. Frege va a mistificar y deificar el concepto de número y los principales básicos de las matemáticas, confiriéndoles un rango de objetos misteriosos investidos de un poder excepcional.

Mary Douglas llama la atención sobre lo que denomina la “regla de pureza”. Para ella todas las culturas tienen de modo natural a simbolizar el status social elevado y el fuerte control social mediante un rígido control de los cuerpos. El invocar la regla de pureza bien puede ser una reacción natural ante una amenaza.

¿Por qué nos interesa el estilo de pensamiento de Frege? Porque revela una visión de las matemáticas netamente diferente del enfoque naturalista que aquí proponemos. Consideremos primero el rechazo por parte de Frege de que el número es algo de naturaleza subjetiva, mental o psicológica. Su argumentación consiste en resaltar las diferencias entre las propiedades de las entidades psicológicas, como las ideas o las experiencias, y las propiedades de las nociones matemáticas.

Al tratar los números como ideas que están en la cabeza de la gente, se desprenden consecuencias bien curiosas. Desde un punto de vista sociológico, la gente no comparte ideas; éstas son estados propios de las mentes individuales, de manera que una idea debe considerarse siempre como propia de alguien. En lugar de decir que el número dos es una idea en sí, el psicólogo hablará más bien de tu idea de dos o mi idea de dos. Como si el número dos no fuera del todo mental sino el contenido extramental de esos estados mentales. Aunque habitualmente se hable del número dos, todo lo que realmente existe es una multitud de ideas individuales cada una de las cuales puede reclamar, en paridad con las otras, ser el número dos. Habrá tantos doses como ideas hay sobre él, lo que se aparta considerablemente del modo habitual de ver las cosas.

Puede decirse que la teoría de Mill tiene un componente objetivo en el hecho de que la aritmética trata sobre las propiedades generales de los objetos, como esos guijarros tan despreciados por Frege. Aquí, el argumento central es que el número no puede ser una propiedad de las cosas porque el modo en que las cosas se numeran depende de nuestra manera de verlas. Dice Frege: “de un objeto al que puede adscribir legítimamente diferentes números no puede decirse que posea un cierto número”. La importancia de nuestra manera de ver muestra que ahí interviene un proceso cognitivo que enlaza el objeto exterior con el acto de atribuirle un número. Para Frege esto interpone una cuña entre los objetos y el auténtico lugar del número, lo que significa que “no podemos asignar simplemente el Número al objeto como haríamos con un predicado”.

El número no es algo que encontremos ahí en el mundo sin más problemas. Hay algo en la naturaleza de los conceptos de número que los hace diferentes de los objetos y de sus propiedades tal y como los solemos pensar. El número no es algo psicológico, ni es algo que se dé simplemente en los guijarros de Mill.

Frege ha expulsado al número tanto del mundo psíquico como del mundo material. Entonces el razonamiento de Frege hace del número un perfecto no-ser. Evidentemente, no es así como él ve las cosas. Existe una tercera posibilidad. Parte de los objetos psíquicos y físicos, están los que Ferge llama objetos de Razón o Conceptos, los cuales poseen la más importante de todas las propiedades: la llamada objetividad. Frege entiende por objetivo aquello que es independiente de nuestras sensaciones y de las representaciones mentales que descansan en ellas, pero aquello que es independiente de nuestra razón.

Debo aceptar que Frege tiene toda la razón al afirmar que las matemáticas son objetivas. Así como debo también aceptar su definición (negativa y positiva) de objetividad. No nos dice, sin embargo, qué es en realidad la objetividad.

Aceptada la definición de objetividad de Frege, ¿qué es lo que la satisface?

¿Qué hay que no sea no mental ni físico, que sea real aunque no exista de hecho, y que pueda ejemplificarse en una noción como la del ecuador? (Ver ejemplo del ecuador página 155) Se admite que las fronteras tienen el rango de convenciones sociales, lo que no quiere decir que sean meras o arbitrarias convenciones. Un individuo puede tener ideas acertadas o equivocadas sobre ellas, y no desaparecen aunque nadie consiga hacerse una imagen mental de ellas. Tampoco son objetos físicos que puedan manipularse o percibirse, aunque utilizarse objetos reales como signos visibles o indicaciones suyas. Por último, podemos referirnos a ellas aunque hagamos alusión a acontecimientos ocurridos mucho tiempo antes de que nadie las hubiera definido.

Todo aquello que tiene el rango propio de las instituciones sociales acaso esté íntimamente logado a la objetividad. Incluso podemos conjeturar la hipótesis de que quizá ese tercer rango tan especial que se sitúa entre lo físico y lo psíquico es de orden social, y solamente social.

El centro de gravedad del sistema solar y el eje de la Tierra. ¿Podemos decir que estos objetos son de naturaleza social? El eje de la Tierra no es de esas realidades de las que tenemos manifiesta experiencia como la propia Tierra sobre la que caminamos. Tanta insistencia indica que estas nociones juegan un papel central en nuestra concepción de la realidad y, en particular, en las teorías mecánicas que ocupan un lugar privilegiado en esa concepción. Esta realidad no es una realidad física sino una representación del mundo sistemática y altamente elaborada. Sus lazos con la experiencia individual son bien tenues. Dos de los conceptos que elige Frege como ejemplos de objetividad son nociones teóricas; pero la componente teórica del conocimiento es precisamente la componente social.

La mejor manera de dar un significado sustancial a la definición fregeana de objetividad es asimilarla con los social. La creencia institucionalizada satisface por completo su definición: eso es la objetividad. Si las cosas fueran así, la sociología sería una amenaza aún mayor que la psicología para la pureza y dignidad de las matemáticas. Los argumentos de Ferge estaban concebidos para mantener inmaculadas las matemáticas, y aún así concibió una definición de objetividad que se presta a interpretación sociológica. Podemos así adoptar la definición que da Ferge de objetividad, sin dejar por ello de postular que las matemáticas son de naturaleza social más que psicológica o meras propiedades de los objetos físicos. Esto nos llevará al problema de cómo puede modificarse la teoría de Mill de modo que pueda venir a alojar los procesos sociales que entran en juego junto con los procesos psíquicos.